De acordo com a teoria de Yukawa das forças nucleares, a força atrativa entre um proton e um neutron pode ser modelada pelo potencial
Discuta os tipos de movimento que podem ocorrer se uma partícula de massa se move sob a ação de tal força.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a teoria de Yukawa das forças nucleares, que modela a força atrativa entre um próton e um nêutron usando o potencial , onde . Nosso objetivo aqui é discutir os tipos de movimento que uma partícula de massa pode ter quando se move sob essa força. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física de forças centrais e como o potencial influencia o movimento da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que estamos lidando com uma força central, ou seja, a força que depende apenas da distância entre as partículas. O potencial dado é . Como , isso indica que a força é atrativa. O termo faz com que a força decaia exponencialmente com a distância, o que é típico das forças nucleares que têm alcance limitado.

Passo 3

Para analisar os tipos de movimento, vamos olhar para a energia total da partícula, que é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Dependendo do valor de , podemos ter diferentes comportamentos:
  1. Estados ligados: Se a energia total for menor que zero ( ), a partícula fica presa na região onde a força é atrativa. Isso resulta em órbitas elípticas ou circulares, onde a partícula oscila em torno de uma posição de equilíbrio.
  2. Estados de espalhamento: Se a energia total for maior que zero ( ), a partícula tem energia suficiente para escapar da atração e se mover para longe do núcleo. Nesse caso, o movimento é mais do tipo livre, sem órbita fixa, caracterizando um espalhamento.

Passo 4

Além disso, podemos considerar o potencial efetivo, que inclui o termo da energia angular:
Onde é o momento angular da partícula. Esse termo adicional pode criar barreiras no potencial, permitindo que certas energias resultem em movimentos específicos, como mínimos estáveis onde a partícula pode manter uma órbita estável.

Passo 5

Resumindo, os tipos de movimento que podem ocorrer são:
  • Órbitas ligadas (elípticas ou circulares) para energias totais negativas, onde a partícula permanece próxima ao núcleo.
  • Movimentos de espalhamento para energias totais positivas, onde a partícula escapa da atração e se afasta indefinidamente.
  • Possibilidade de órbitas estáveis devido ao equilíbrio entre a força atrativa e a força centrífuga derivada do momento angular.

Resposta

Uma partícula de massa sujeita ao potencial de Yukawa pode realizar movimentos ligados, como órbitas elípticas ou circulares quando sua energia total é negativa, permanecendo próxima ao núcleo. Além disso, se a energia total for positiva, a partícula pode se afastar indefinidamente, caracterizando movimentos de espalhamento. A presença de momento angular também permite órbitas estáveis devido ao equilíbrio entre a força atrativa e a força centrífuga.

Exercícios relacionados

Escreva a equação da órbita para um oscilador harmônico isotrópico de massa . Resolva a equação e verifique que a trajetória é uma elipse com centro na origem. Verifique ainda que o período do movimento é dado por:
onde é a área da elipse e é o momento angular.
Discuta qualitativamente, usando o potencial efetivo, o que ocorreria com as órbitas se o potencial fosse repulsivo, ou seja, , com . Como a equação da órbita mudaria nesse caso? Qual a forma da órbita?
Uma partícula de massa se move sob a ação de uma força cuja energia potencial é . Inicialmente a partícula se move em um círculo de raio . Encontre a velocidade orbital .
A partícula então recebe um impulso em uma direção fazendo um ângulo com a direção de sua velocidade inicial. Use as leis de conservação para determinar as distâncias mínima e máxima, com relação à origem, durante o movimento subsequente. Explique fisicamente seus resultados para os casos limites e .
Uma partícula se move em uma órbita elíptica sob a ação de uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância à origem. Se a razão entre a velocidade angular máxima e a velocidade angular mínima da partícula em sua órbita é , mostre que a excentricidade da órbita é
Discuta o movimento de uma partícula sob a ação de uma força central atrativa da forma . Esboce algumas órbitas para diferentes valores da energia mecânica. É possível existir uma órbita circular estável neste cenário? Para , mostre que a seção de choque para o espalhamento de uma partícula de massa e com velocidade inicial por essa força, em um ângulo entre e , é