Uma partícula de massa
se move sob a ação de uma força cuja energia potencial é
. Inicialmente a partícula se move em um círculo de raio
. Encontre a velocidade orbital
.
A partícula então recebe um impulso
em uma direção fazendo um ângulo
com a direção de sua velocidade inicial. Use as leis de conservação para determinar as distâncias mínima e máxima, com relação à origem, durante o movimento subsequente. Explique fisicamente seus resultados para os casos limites
e
.
A partícula então recebe um impulso
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula de massa
que se move sob uma força com energia potencial
. Inicialmente, ela está se movendo em um círculo de raio
. Primeiro, precisamos encontrar a velocidade orbital
dessa partícula. Depois, a partícula recebe um impulso que afeta seu movimento. Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente energia potencial, movimento circular e leis de conservação (como a conservação da energia e do momento angular).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade orbital
quando a partícula está se movendo em círculo de raio
. Nesse caso, a força centrípeta que mantém a partícula em movimento circular é fornecida pela força derivada da energia potencial.
A força centrípeta
necessária para manter a partícula em movimento circular é:
A força derivada da energia potencial
é:
Como a força centrípeta é igual em magnitude à força derivada da energia potencial, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade orbital
:
Dividindo ambos os lados por
:
Tirando a raiz quadrada:
Passo 4
Com a velocidade
encontrada, agora a partícula recebe um impulso de magnitude
em uma direção que faz um ângulo
com a direção da velocidade inicial. Esse impulso vai alterar tanto a direção quanto a magnitude da velocidade da partícula.
Vamos decompor o impulso nas direções tangencial e radial. A componente tangencial do impulso afetará o momento angular, e a componente radial afetará a energia total do sistema.
Passo 5
Antes do impulso, a energia total
da partícula é apenas a energia cinética, já que a posição inicial é um raio fixo
:
O momento angular
inicial é:
Passo 6
Após o impulso, a velocidade da partícula muda. Vamos chamar a nova velocidade de
. A componente do impulso na direção tangencial é
e na direção radial é
.
A nova velocidade tangencial
será:
A nova velocidade radial
será:
Passo 7
Com as novas componentes de velocidade, podemos recalcular o momento angular e a energia total após o impulso.
O novo momento angular
é:
A nova energia total
é:
Substituindo
:
Simplificando:
Como
:
Passo 8
Vamos usar a conservação da energia para determinar as distâncias mínima e máxima durante o movimento subsequente. A energia total
deve ser igual à energia potencial m��xima quando a partícula está na distância mínima
e na distância máxima
.
Portanto:
e
No entanto, percebemos que a energia cinética se transforma em energia potencial nas posições extremas, então podemos igualar a energia inicial à energia potencial máxima:
Resolvendo para
e
.
Passo 9
Vamos reescrever a equação de energia:
Multiplicando ambos os lados por 2 e isolando
:
Dividindo por
:
Mas sabemos que inicialmente
, então substituindo:
Como a partícula oscila ao redor da posição de equilíbrio, as distâncias mínima e máxima serão:
e
No entanto, notamos que para
e
, os comportamentos serão específicos.
Resposta
A velocidade orbital inicial da partícula é
. Após o impulso, as distâncias mínima e máxima em relação à origem são
e
. Nos casos limites, quando
, o impulso reforça a velocidade na mesma direção, aumentando a distância; quando
, o impulso age na direção oposta, reduzindo a distância.
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é o momento angular.
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