Uma partícula de massa m se move sob a ação de uma força cuja energia potencial é 12 k r^2. Inicialmente a partícula se move em um círculo de raio a. Encontre a velocidade orbital v.
A partícula então recebe um impulso m v em uma direção fazendo um ângulo alpha com a direção de sua velocidade inicial. Use as leis de conservação para determinar as distâncias mínima e máxima, com relação à origem, durante o movimento subsequente. Explique fisicamente seus resultados para os casos limites alpha=0 e alpha=pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula de massa m que se move sob uma força com energia potencial U = 12 k r^2. Inicialmente, ela está se movendo em um círculo de raio a. Primeiro, precisamos encontrar a velocidade orbital v dessa partícula. Depois, a partícula recebe um impulso que afeta seu movimento. Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente energia potencial, movimento circular e leis de conservação (como a conservação da energia e do momento angular).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade orbital v quando a partícula está se movendo em círculo de raio a. Nesse caso, a força centrípeta que mantém a partícula em movimento circular é fornecida pela força derivada da energia potencial.
A força centrípeta F necessária para manter a partícula em movimento circular é:
F = mv^2a
A força derivada da energia potencial U(r) = 12 k r^2 é:
F = -dUdr = -k r
Como a força centrípeta é igual em magnitude à força derivada da energia potencial, temos:
mv^2a = k a

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade orbital v:
mv^2 = k a^2
Dividindo ambos os lados por m:
v^2 = k a^2m
Tirando a raiz quadrada:
v = a raizkm

Passo 4

Com a velocidade v encontrada, agora a partícula recebe um impulso de magnitude m v em uma direção que faz um ângulo alpha com a direção da velocidade inicial. Esse impulso vai alterar tanto a direção quanto a magnitude da velocidade da partícula.
Vamos decompor o impulso nas direções tangencial e radial. A componente tangencial do impulso afetará o momento angular, e a componente radial afetará a energia total do sistema.

Passo 5

Antes do impulso, a energia total E da partícula é apenas a energia cinética, já que a posição inicial é um raio fixo a:
Einicial = 12 m v^2 = 12 m (a raizkm)^2 = 12 m k a^2m = 12 k a^2
O momento angular L inicial é:
Linicial = m v a = m cdot a raizkm cdot a = m a^2 raizkm = a^2 raizm k

Passo 6

Após o impulso, a velocidade da partícula muda. Vamos chamar a nova velocidade de v'. A componente do impulso na direção tangencial é m v cosalpha e na direção radial é m v sinalpha.
A nova velocidade tangencial v't será:
v't = v + v cosalpha = v (1 + cosalpha)
A nova velocidade radial v'r será:
v'r = v sinalpha

Passo 7

Com as novas componentes de velocidade, podemos recalcular o momento angular e a energia total após o impulso.
O novo momento angular L' é:
L' = m (v't) a = m a v (1 + cosalpha) = L (1 + cosalpha)
A nova energia total E' é:
E' = 12 m v'^2 + 12 k r^2
Substituindo v'^2 = v'^2t + v'^2r:
E' = 12 m [v^2 (1 + cosalpha)^2 + v^2 sin^2alpha] + 12 k r^2
Simplificando:
E' = 12 m v^2 [1 + 2cosalpha + cos^2alpha + sin^2alpha] + 12 k r^2
Como cos^2alpha + sin^2alpha = 1:
E' = 12 m v^2 (2 + 2cosalpha) + 12 k r^2 = m v^2 (1 + cosalpha) + 12 k r^2

Passo 8

Vamos usar a conservação da energia para determinar as distâncias mínima e máxima durante o movimento subsequente. A energia total E' deve ser igual à energia potencial m��xima quando a partícula está na distância mínima rmin e na distância máxima rmax.
Portanto:
m v^2 (1 + cosalpha) + 12 k r^2 = 12 k rmin^2
e
m v^2 (1 + cosalpha) + 12 k r^2 = 12 k rmax^2
No entanto, percebemos que a energia cinética se transforma em energia potencial nas posições extremas, então podemos igualar a energia inicial à energia potencial máxima:
E' = 12 k rmin^2 = 12 k rmax^2
Resolvendo para rmin e rmax.

Passo 9

Vamos reescrever a equação de energia:
12 k r^2 + m v^2 (1 + cosalpha) = 12 k r^2min/max
Multiplicando ambos os lados por 2 e isolando r^2min/max:
k r^2 + 2 m v^2 (1 + cosalpha) = k r^2min/max
Dividindo por k:
r^2min/max = r^2 + 2 m v^2k (1 + cosalpha)
Mas sabemos que inicialmente v^2 = k a^2m, então substituindo:
r^2min/max = r^2 + 2 m cdot k a^2mk (1 + cosalpha) = r^2 + 2 a^2 (1 + cosalpha)
Como a partícula oscila ao redor da posição de equilíbrio, as distâncias mínima e máxima serão:
rmin = a raiz2(1 + cosalpha)
e
rmax = a raiz2(1 + cosalpha)
No entanto, notamos que para alpha = 0 e alpha = pi, os comportamentos serão específicos.

Resposta

A velocidade orbital inicial da partícula é v = a raizkm. Após o impulso, as distâncias mínima e máxima em relação à origem são rmin = a raiz2(1 + cosalpha) e rmax = a raiz2(1 + cosalpha). Nos casos limites, quando alpha = 0, o impulso reforça a velocidade na mesma direção, aumentando a distância; quando alpha = pi, o impulso age na direção oposta, reduzindo a distância.

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