Uma partícula de massa se move sob a ação de uma força cuja energia potencial é . Inicialmente a partícula se move em um círculo de raio . Encontre a velocidade orbital .
A partícula então recebe um impulso em uma direção fazendo um ângulo com a direção de sua velocidade inicial. Use as leis de conservação para determinar as distâncias mínima e máxima, com relação à origem, durante o movimento subsequente. Explique fisicamente seus resultados para os casos limites e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula de massa que se move sob uma força com energia potencial . Inicialmente, ela está se movendo em um círculo de raio . Primeiro, precisamos encontrar a velocidade orbital dessa partícula. Depois, a partícula recebe um impulso que afeta seu movimento. Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente energia potencial, movimento circular e leis de conservação (como a conservação da energia e do momento angular).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade orbital quando a partícula está se movendo em círculo de raio . Nesse caso, a força centrípeta que mantém a partícula em movimento circular é fornecida pela força derivada da energia potencial.
A força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular é:
A força derivada da energia potencial é:
Como a força centrípeta é igual em magnitude à força derivada da energia potencial, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade orbital :
Dividindo ambos os lados por :
Tirando a raiz quadrada:

Passo 4

Com a velocidade encontrada, agora a partícula recebe um impulso de magnitude em uma direção que faz um ângulo com a direção da velocidade inicial. Esse impulso vai alterar tanto a direção quanto a magnitude da velocidade da partícula.
Vamos decompor o impulso nas direções tangencial e radial. A componente tangencial do impulso afetará o momento angular, e a componente radial afetará a energia total do sistema.

Passo 5

Antes do impulso, a energia total da partícula é apenas a energia cinética, já que a posição inicial é um raio fixo :
O momento angular inicial é:

Passo 6

Após o impulso, a velocidade da partícula muda. Vamos chamar a nova velocidade de . A componente do impulso na direção tangencial é e na direção radial é .
A nova velocidade tangencial será:
A nova velocidade radial será:

Passo 7

Com as novas componentes de velocidade, podemos recalcular o momento angular e a energia total após o impulso.
O novo momento angular é:
A nova energia total é:
Substituindo :
Simplificando:
Como :

Passo 8

Vamos usar a conservação da energia para determinar as distâncias mínima e máxima durante o movimento subsequente. A energia total deve ser igual à energia potencial m��xima quando a partícula está na distância mínima e na distância máxima .
Portanto:
e
No entanto, percebemos que a energia cinética se transforma em energia potencial nas posições extremas, então podemos igualar a energia inicial à energia potencial máxima:
Resolvendo para e .

Passo 9

Vamos reescrever a equação de energia:
Multiplicando ambos os lados por 2 e isolando :
Dividindo por :
Mas sabemos que inicialmente , então substituindo:
Como a partícula oscila ao redor da posição de equilíbrio, as distâncias mínima e máxima serão:
e
No entanto, notamos que para e , os comportamentos serão específicos.

Resposta

A velocidade orbital inicial da partícula é . Após o impulso, as distâncias mínima e máxima em relação à origem são e . Nos casos limites, quando , o impulso reforça a velocidade na mesma direção, aumentando a distância; quando , o impulso age na direção oposta, reduzindo a distância.

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