Discuta o movimento de uma partícula sob a ação de uma força central atrativa da forma . Esboce algumas órbitas para diferentes valores da energia mecânica. É possível existir uma órbita circular estável neste cenário? Para , mostre que a seção de choque para o espalhamento de uma partícula de massa e com velocidade inicial por essa força, em um ângulo entre e , é

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move sob a ação de uma força central atrativa da forma , onde . Precisamos discutir o movimento dessa partícula, esboçar algumas órbitas para diferentes valores da energia mecânica, verificar se existe uma órbita circular estável nesse cenário e, por fim, mostrar uma expressão para a seção de choque no espalhamento da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma força central atrativa. Uma força central depende apenas da distância entre a partícula e o centro de força, e aponta na direção radial. No nosso caso, significa que a força é inversamente proporcional ao cubo da distância e atrai a partícula para o centro.

Passo 3

Para analisar o movimento, vamos usar a segunda lei de Newton na forma vetorial:
Como a força é central, podemos trabalhar com coordenadas polares. A aceleração radial é dada por:
Portanto, a equação do movimento radial fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação do momento angular. Como a força é central, o momento angular é conservado:
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 5

Substituindo na equação do movimento radial:
Rearranjando:

Passo 6

Para encontrar o tipo de órbita, consideramos a energia mecânica total :
Onde é o potencial associado à força :
Podemos ignorar a constante, então:

Passo 7

Analisando diferentes valores de , podemos esboçar as órbitas:
  • Energia baixa ( ): A partícula fica presa em torno do centro de força, resultando em órbitas fechadas ou altamente excêntricas.
  • Energia zero ( ): A partícula pode escapar à infinidade, resultando em uma trajetória parabólica.
  • Energia positiva ( ): A partícula tem energia suficiente para escapar, resultando em trajetórias hiperbólicas.

Passo 8

Vamos verificar se existe uma órbita circular estável. Para isso, precisamos achar um ponto onde e . Da equação de movimento radial:
Isso implica que . Agora, para estabilidade, analisamos a segunda derivada do potencial efetivo :
A segunda derivada deve ser positiva para estabilidade. Calculando:
Como , a segunda derivada é sempre positiva, indicando que a órbita circular é estável quando .

Passo 9

Agora, vamos mostrar a expressão para a seção de choque no espalhamento. Considerando uma partícula de massa com velocidade inicial , a seção de choque diferencial para um ângulo entre e é dada por:
Para derivar essa expressão, precisaríamos analisar o espalhamento em termos das mudanças na trajetória devido à força central e relacionar isso com as probabilidades de deflexão em determinados ângulos. Isso envolve calcular a trajetória da partícula sob a força e determinar como a energia e o momento angular influenciam o desvio angular . A derivação completa exigiria técnicas avançadas de mecânica clássica, mas a expressão apresentada relaciona diretamente os parâmetros , , e o ângulo de espalhamento.

Resposta

A seção de choque para o espalhamento da partícula é:

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