Discuta o movimento de uma partícula sob a ação de uma força central atrativa da forma
. Esboce algumas órbitas para diferentes valores da energia mecânica. É possível existir uma órbita circular estável neste cenário? Para
, mostre que a seção de choque para o espalhamento de uma partícula de massa
e com velocidade inicial
por essa força, em um ângulo entre
e
, é
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move sob a ação de uma força central atrativa da forma
, onde
. Precisamos discutir o movimento dessa partícula, esboçar algumas órbitas para diferentes valores da energia mecânica, verificar se existe uma órbita circular estável nesse cenário e, por fim, mostrar uma expressão para a seção de choque no espalhamento da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma força central atrativa. Uma força central depende apenas da distância
entre a partícula e o centro de força, e aponta na direção radial. No nosso caso,
significa que a força é inversamente proporcional ao cubo da distância e atrai a partícula para o centro.
Passo 3
Para analisar o movimento, vamos usar a segunda lei de Newton na forma vetorial:
Como a força é central, podemos trabalhar com coordenadas polares. A aceleração radial
é dada por:
Portanto, a equação do movimento radial fica:
Passo 4
Agora, vamos usar a conservação do momento angular. Como a força é central, o momento angular
é conservado:
Isso nos permite expressar
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
na equação do movimento radial:
Rearranjando:
Passo 6
Para encontrar o tipo de órbita, consideramos a energia mecânica total
:
Onde
é o potencial associado à força
:
Podemos ignorar a constante, então:
Passo 7
Analisando diferentes valores de
, podemos esboçar as órbitas:
- Energia baixa (
): A partícula fica presa em torno do centro de força, resultando em órbitas fechadas ou altamente excêntricas. - Energia zero (
): A partícula pode escapar à infinidade, resultando em uma trajetória parabólica. - Energia positiva (
): A partícula tem energia suficiente para escapar, resultando em trajetórias hiperbólicas.
Passo 8
Vamos verificar se existe uma órbita circular estável. Para isso, precisamos achar um ponto onde
e
. Da equação de movimento radial:
Isso implica que
. Agora, para estabilidade, analisamos a segunda derivada do potencial efetivo
:
A segunda derivada
deve ser positiva para estabilidade. Calculando:
Como
, a segunda derivada é sempre positiva, indicando que a órbita circular é estável quando
.
Passo 9
Agora, vamos mostrar a expressão para a seção de choque
no espalhamento. Considerando uma partícula de massa
com velocidade inicial
, a seção de choque diferencial para um ângulo entre
e
é dada por:
Para derivar essa expressão, precisaríamos analisar o espalhamento em termos das mudanças na trajetória devido à força central e relacionar isso com as probabilidades de deflexão em determinados ângulos. Isso envolve calcular a trajetória da partícula sob a força
e determinar como a energia e o momento angular influenciam o desvio angular
. A derivação completa exigiria técnicas avançadas de mecânica clássica, mas a expressão apresentada relaciona diretamente os parâmetros
,
,
e o ângulo
de espalhamento.
Resposta
A seção de choque para o espalhamento da partícula é:
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