Discuta o movimento de uma partícula sob a ação de uma força central atrativa da forma F(r)=-kr^3. Esboce algumas órbitas para diferentes valores da energia mecânica. É possível existir uma órbita circular estável neste cenário? Para k>0, mostre que a seção de choque para o espalhamento de uma partícula de massa m e com velocidade inicial v0 por essa força, em um ângulo entre Theta e Theta+d Theta, é
d sigma=2 pi^3 km v0^2 pi-ThetaTheta^2(2 pi-Theta)^2 d Theta

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move sob a ação de uma força central atrativa da forma , onde . Precisamos discutir o movimento dessa partícula, esboçar algumas órbitas para diferentes valores da energia mecânica, verificar se existe uma órbita circular estável nesse cenário e, por fim, mostrar uma expressão para a seção de choque no espalhamento da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma força central atrativa. Uma força central depende apenas da distância entre a partícula e o centro de força, e aponta na direção radial. No nosso caso, significa que a força é inversamente proporcional ao cubo da distância e atrai a partícula para o centro.

Passo 3

Para analisar o movimento, vamos usar a segunda lei de Newton na forma vetorial:
F = m a
Como a força é central, podemos trabalhar com coordenadas polares. A aceleração radial ar = ddotr - r dottheta^2 é dada por:
-kr^3 = m ( ddotr - r dottheta^2 )
Portanto, a equação do movimento radial fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação do momento angular. Como a força é central, o momento angular L = m r^2 dottheta = constante é conservado:
dottheta = Lm r^2
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 5

Substituindo -kr^3 = m ddotr - L^2m r^3 na equação do movimento radial:
m ddotr = -kr^3 + L^2m r^3 = L^2 - k mm r^3
Rearranjando:

Passo 6

Para encontrar o tipo de órbita, consideramos a energia mecânica total E = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 + V(r) :
F(r) = -dVdr Rightarrow V(r) = integral kr^3 dr = k2 r^2 + constante
Onde E = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 + k2 r^2 é o potencial associado à força :
Podemos ignorar a constante, então:

Passo 7

Analisando diferentes valores de , podemos esboçar as órbitas:
  • Energia baixa ( ): A partícula fica presa em torno do centro de força, resultando em órbitas fechadas ou altamente excêntricas.
  • Energia zero ( ): A partícula pode escapar à infinidade, resultando em uma trajetória parabólica.
  • Energia positiva ( ): A partícula tem energia suficiente para escapar, resultando em trajetórias hiperbólicas.

Passo 8

Vamos verificar se existe uma órbita circular estável. Para isso, precisamos achar um ponto onde 0 = L^2 - k mm r^3 e Vefetivo(r) = L^22 m r^2 + k2 r^2 = L^2 + k m2 m r^2 . Da equação de movimento radial:
V''efetivo(r) = 3(L^2 + k m)m r^4
Isso implica que . Agora, para estabilidade, analisamos a segunda derivada do potencial efetivo :
A segunda derivada deve ser positiva para estabilidade. Calculando:
Como , a segunda derivada é sempre positiva, indicando que a órbita circular é estável quando .

Passo 9

Agora, vamos mostrar a expressão para a seção de choque d sigma = 2 pi^3 km v0^2 pi - ThetaTheta^2(2 pi - Theta)^2 dTheta no espalhamento. Considerando uma partícula de massa com velocidade inicial , a seção de choque diferencial para um ângulo entre e é dada por:
Para derivar essa expressão, precisaríamos analisar o espalhamento em termos das mudanças na trajetória devido à força central e relacionar isso com as probabilidades de deflexão em determinados ângulos. Isso envolve calcular a trajetória da partícula sob a força e determinar como a energia e o momento angular influenciam o desvio angular . A derivação completa exigiria técnicas avançadas de mecânica clássica, mas a expressão apresentada relaciona diretamente os parâmetros , , e o ângulo de espalhamento.

Resposta

A seção de choque para o espalhamento da partícula é:
d sigma = 2 pi^3 km v0^2 pi - ThetaTheta^2(2 pi - Theta)^2 dTheta

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