Escreva a equação da órbita para um oscilador harmônico isotrópico de massa . Resolva a equação e verifique que a trajetória é uma elipse com centro na origem. Verifique ainda que o período do movimento é dado por:
onde é a área da elipse e é o momento angular.
Discuta qualitativamente, usando o potencial efetivo, o que ocorreria com as órbitas se o potencial fosse repulsivo, ou seja, , com . Como a equação da órbita mudaria nesse caso? Qual a forma da órbita?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever a equação da órbita de um oscilador harmônico isotrópico com massa . Isso está relacionado à física de movimentos harmônicos e à mecânica clássica. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Newton, conceitos de energia e momento angular, além de entender um pouco sobre potenciais efetivos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um oscilador harmônico isotrópico tem um potencial da forma:
onde é a constante elástica e é a distância do ponto de equilíbrio. Como o movimento é isotrópico, ele é igual em todas as direções.

Passo 3

A força exercida pelo potencial é dada pela derivada negativa do potencial em relação a :
Isso significa que a força é sempre direcionada para o ponto de equilíbrio e é proporcional à distância.

Passo 4

Usando a segunda lei de Newton, , temos:
Isso resulta em uma equação diferencial para o movimento da partícula.

Passo 5

Resolvendo a equação diferencial, obtemos soluções harmônicas:
onde e são vetores de amplitude e é a frequência angular.

Passo 6

Para simplificar, podemos escrever a trajetória no plano utilizando coordenadas polares. A solução descreve uma elipse centrada na origem, já que as componentes e são funções harmônicas com a mesma frequência.

Passo 7

Agora, vamos verificar o período do movimento. O período é o tempo necessário para completar uma oscilação, dado por:

Passo 8

Sabemos que a área da elipse é dada por , onde e são os semi-eixos. O momento angular para o movimento harmônico isotrópico é constante e dado por:
Substituindo na expressão do período, chegamos a:
confirmando a relação dada no enunciado.

Passo 9

Agora, vamos discutir qualitativamente o que aconteceria se o potencial fosse repulsivo, ou seja, com . O potencial seria:
Isso significa que a força agora seria:
Como é negativo, a força seria repulsiva, empurrando a partícula para longe da origem.

Passo 10

Com um potencial repulsivo, a equação da órbita mudaria porque a força não mais atrai para o centro, mas repele. A solução das equações de movimento nesse caso levaria a trajetórias hiperbólicas em vez de elípticas.

Resposta

Resumindo, a equação da órbita para um oscilador harmônico isotrópico é uma elipse centrada na origem, e o período do movimento é dado por . Se o potencial fosse repulsivo ( ), as órbitas deixariam de ser elípticas e se tornariam hiperbólicas devido à força de repulsão.

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