Escreva a equação da órbita para um oscilador harmônico isotrópico de massa
. Resolva a equação e verifique que a trajetória é uma elipse com centro na origem. Verifique ainda que o período do movimento é dado por:
onde
é a área da elipse e
é o momento angular.
Discuta qualitativamente, usando o potencial efetivo, o que ocorreria com as órbitas se o potencial fosse repulsivo, ou seja,
, com
. Como a equação da órbita mudaria nesse caso? Qual a forma da órbita?
Discuta qualitativamente, usando o potencial efetivo, o que ocorreria com as órbitas se o potencial fosse repulsivo, ou seja,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever a equação da órbita de um oscilador harmônico isotrópico com massa
. Isso está relacionado à física de movimentos harmônicos e à mecânica clássica. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Newton, conceitos de energia e momento angular, além de entender um pouco sobre potenciais efetivos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um oscilador harmônico isotrópico tem um potencial da forma:
onde
é a constante elástica e
é a distância do ponto de equilíbrio. Como o movimento é isotrópico, ele é igual em todas as direções.
Passo 3
A força exercida pelo potencial é dada pela derivada negativa do potencial em relação a
:
Isso significa que a força é sempre direcionada para o ponto de equilíbrio e é proporcional à distância.
Passo 4
Usando a segunda lei de Newton,
, temos:
Isso resulta em uma equação diferencial para o movimento da partícula.
Passo 5
Resolvendo a equação diferencial, obtemos soluções harmônicas:
onde
e
são vetores de amplitude e
é a frequência angular.
Passo 6
Para simplificar, podemos escrever a trajetória no plano utilizando coordenadas polares. A solução descreve uma elipse centrada na origem, já que as componentes
e
são funções harmônicas com a mesma frequência.
Passo 7
Agora, vamos verificar o período do movimento. O período
é o tempo necessário para completar uma oscilação, dado por:
Passo 8
Sabemos que a área
da elipse é dada por
, onde
e
são os semi-eixos. O momento angular
para o movimento harmônico isotrópico é constante e dado por:
Substituindo
na expressão do período, chegamos a:
confirmando a relação dada no enunciado.
Passo 9
Agora, vamos discutir qualitativamente o que aconteceria se o potencial fosse repulsivo, ou seja, com
. O potencial seria:
Isso significa que a força agora seria:
Como
é negativo, a força seria repulsiva, empurrando a partícula para longe da origem.
Passo 10
Com um potencial repulsivo, a equação da órbita mudaria porque a força não mais atrai para o centro, mas repele. A solução das equações de movimento nesse caso levaria a trajetórias hiperbólicas em vez de elípticas.
Resposta
Resumindo, a equação da órbita para um oscilador harmônico isotrópico é uma elipse centrada na origem, e o período do movimento é dado por
. Se o potencial fosse repulsivo (
), as órbitas deixariam de ser elípticas e se tornariam hiperbólicas devido à força de repulsão.