Uma partícula se move em uma órbita elíptica sob a ação de uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância à origem. Se a razão entre a velocidade angular máxima e a velocidade angular mínima da partícula em sua órbita é , mostre que a excentricidade da órbita é

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma partícula que se move em uma órbita elíptica sob a ação de uma força central que varia inversamente com o quadrado da distância à origem. Isso significa que a força é proporcional a , onde é a distância da partícula ao centro da órbita.
O conteúdo envolvido aqui inclui a dinâmica de movimentos orbitais, especialmente em órbitas elípticas, e conceitos como velocidade angular e excentricidade da órbita. Precisaremos usar fórmulas de mecânica clássica que relacionam velocidade angular, raio da órbita e excentricidade.

Passo 2

Vamos lembrar que, em uma órbita elíptica, a velocidade angular de uma partícula pode variar dependendo da sua posição na órbita. Ela é máxima no periélio (ponto mais próximo ao centro) e mínima no afélio (ponto mais distante).
A relação entre a velocidade angular máxima á e a mínima í é dada pela razão :
áí
Nosso objetivo é relacionar essa razão com a excentricidade da órbita.

Passo 3

A excentricidade de uma órbita elíptica está relacionada aos comprimentos do semieixo maior e do semieixo menor pela fórmula:
Mas para facilitar nossa resolução, usaremos outra relação envolvendo a excentricidade e as velocidades angulares no periélio e afélio.

Passo 4

No periélio, a velocidade angular é máxima, e no afélio, é mínima. Sabemos que em uma órbita elíptica sujeita a uma força central proporcional a , as velocidades angulares estão relacionadas aos distâncias do periélio e do afélio pela conservação do momento angular:
áí
Como áí, podemos escrever:

Passo 5

Sabemos que para uma órbita elíptica, as distâncias do periélio e afélio estão relacionadas ao semieixo maior e à excentricidade da seguinte forma:
Substituindo essas expressões na rela��ão obtida no passo anterior:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :
Reorganizando os termos para isolar :
Finalmente, isolando :

Resposta

A excentricidade da órbita é

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