Uma partícula se move em uma órbita elíptica sob a ação de uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância à origem. Se a razão entre a velocidade angular máxima e a velocidade angular mínima da partícula em sua órbita é
, mostre que a excentricidade da órbita é
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma partícula que se move em uma órbita elíptica sob a ação de uma força central que varia inversamente com o quadrado da distância à origem. Isso significa que a força é proporcional a
, onde
é a distância da partícula ao centro da órbita.
O conteúdo envolvido aqui inclui a dinâmica de movimentos orbitais, especialmente em órbitas elípticas, e conceitos como velocidade angular e excentricidade da órbita. Precisaremos usar fórmulas de mecânica clássica que relacionam velocidade angular, raio da órbita e excentricidade.
Passo 2
Vamos lembrar que, em uma órbita elíptica, a velocidade angular
de uma partícula pode variar dependendo da sua posição na órbita. Ela é máxima no periélio (ponto mais próximo ao centro) e mínima no afélio (ponto mais distante).
A relação entre a velocidade angular máxima
e a mínima
é dada pela razão
:
Nosso objetivo é relacionar essa razão
com a excentricidade
da órbita.
Passo 3
A excentricidade
de uma órbita elíptica está relacionada aos comprimentos do semieixo maior
e do semieixo menor
pela fórmula:
Mas para facilitar nossa resolução, usaremos outra relação envolvendo a excentricidade e as velocidades angulares no periélio e afélio.
Passo 4
No periélio, a velocidade angular é máxima, e no afélio, é mínima. Sabemos que em uma órbita elíptica sujeita a uma força central proporcional a
, as velocidades angulares estão relacionadas aos distâncias do periélio
e do afélio
pela conservação do momento angular:
Como
, podemos escrever:
Passo 5
Sabemos que para uma órbita elíptica, as distâncias do periélio e afélio estão relacionadas ao semieixo maior
e à excentricidade
da seguinte forma:
Substituindo essas expressões na rela��ão obtida no passo anterior:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Reorganizando os termos para isolar
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A excentricidade da órbita é