De acordo com a teoria de Yukawa das forças nucleares, a força atrativa entre um proton e um neutron pode ser modelada pelo potencial
V(r)=K e^-alpha rr ; K<0
Mostre que órbitas aproximadamente circulares são quase fechadas quando a é muito pequeno.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que órbitas aproximadamente circulares são quase fechadas quando o parâmetro alpha é muito pequeno, usando a teoria de Yukawa das forças nucleares. Isso está ligado ao estudo de forças centrais na física, onde analisamos como partículas se movem sob determinadas potenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica clássica, como movimentos orbitais e potenciais de interação.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o potencial de Yukawa dado por:
V(r) = K e^-alpha rr com K < 0
Aqui, r é a distância entre o próton e o nêutron, K é uma constante negativa, e alpha é um parâmetro que caracteriza a “alcance” da força.

Passo 3

Para analisar as órbitas, vamos usar a equação eficaz para movimentos sob uma força central. A energia total E de uma partícula em uma órbita circular é a soma da energia cinética e da energia potencial. A condição para uma órbita circular é que a força centrípeta fornecida pela interação seja igual à força necessária para manter a partícula na trajetória circular.
A força resultante a partir do potencial V(r) é dada por:
F(r) = -dVdr = -ddr(K e^-alpha rr)
Calculando a derivada:
F(r) = -K e^-alpha r ( -alpha r - 1r^2 ) = K e^-alpha r (alpha r + 1)r^2

Passo 4

Para órbitas quase circulares, consideramos que alpha é muito pequeno, ou seja, alpha r ll 1. Assim, podemos aproximar alpha r + 1 approx 1. Então, a força fica:
F(r) approx K e^-alpha rr^2
Isso se assemelha muito à força de Coulomb ou gravitacional, que também depende de 1/r^2. Sabemos que para forças como a de Coulomb, as órbitas são elipses fechadas. Portanto, quando alpha é muito pequeno, a força de Yukawa se comporta quase como uma força inversa ao quadrado, fazendo com que as órbitas sejam quase fechadas.

Resposta

Assim, mostramos que quando o parâmetro alpha é muito pequeno, as órbitas aproximadamente circulares sob o potencial de Yukawa são quase fechadas.

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