Usando conservação de energia e momento angular , mostre que a trajetória de uma partícula potencial central satisfaz:
Usando esse resultado, mostre que o ângulo de espalhamento pode ser escrito como:
onde é o parâmetro de impacto, é a velocidade da partícula muito antes do espalhamento (no infinito) e é o valor no qual a quantidade dentro da raiz se anula.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula movendo-se sob a influência de um potencial central . Precisamos usar as leis de conservação de energia e do momento angular para derivar uma equação para a trajetória da partícula na forma . Em seguida, com esse resultado, vamos mostrar como calcular o ângulo de espalhamento . Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de mecânica clássica, especialmente as leis de conservação e as equações do movimento em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a energia total da partícula. Em coordenadas polares, a energia cinética é dada por:
Aqui, é a massa da partícula, é a derivada de em relação ao tempo, e é a derivada de em relação ao tempo.
Passo 3
A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial :
Como estamos lidando com um potencial central, o momento angular é conservado e dado por:
Podemos resolver essa expressão para :
Passo 4
Agora, vamos substituir na equação da energia total:
Para simplificar, vamos usar a substituição . Então, e .
Passo 5
Calculando :
Substituindo na equação da energia:
Para relacionar com , usamos a relação . Sabendo que , temos:
Passo 6
Substituindo na equação da energia:
Simplificando:
Essa é a equação que descreve a trajetória da partícula, conforme solicitado.
Passo 7
Agora, vamos usar essa equação para encontrar o ângulo de espalhamento . O ângulo de espalhamento está relacionado ao parâmetro de impacto , à velocidade inicial e ao ponto onde a expressão dentro da raiz se anula.
A partir da equação da trajetória, isolamos :
Rearranjando para integrar em termos de :
Integrando de a e multiplicando por 2 para considerar ida e volta, temos:
onde é o parâmetro de impacto, é a velocidade inicial, e é o valor onde o denominador se anula.