Usando conservação de energia e momento angular , mostre que a trajetória de uma partícula potencial central satisfaz:
Usando esse resultado, mostre que o ângulo de espalhamento pode ser escrito como:
onde b é o parâmetro de impacto, v0 é a velocidade da partícula muito antes do espalhamento (no infinito) e u0 é o valor no qual a quantidade dentro da raiz se anula.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula movendo-se sob a influência de um potencial central . Precisamos usar as leis de conservação de energia e do momento angular para derivar uma equação para a trajetória da partícula na forma . Em seguida, com esse resultado, vamos mostrar como calcular o ângulo de espalhamento . Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de mecânica clássica, especialmente as leis de conservação e as equações do movimento em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a energia total T = 12 m ( dotr^2 + r^2 dottheta^2 ) da partícula. Em coordenadas polares, a energia cinética é dada por:
Aqui, é a massa da partícula, é a derivada de em relação ao tempo, e é a derivada de em relação ao tempo.
Passo 3
A energia total E = T + V(r) = 12 m ( dotr^2 + r^2 dottheta^2 ) + V(r) é a soma da energia cinética e da energia potencial L = m r^2 dottheta :
dottheta = Lm r^2
Como estamos lidando com um potencial central, o momento angular é conservado e dado por:
Podemos resolver essa expressão para :
Passo 4
Agora, vamos substituir E = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 + V(r) na equação da energia total:
Para simplificar, vamos usar a substituição . Então, e .
Passo 5
Calculando dotr^2 = ( -dotuu^2 )^2 = dotu^2u^4 :
E = 12 m dotu^2u^4 + L^2 u^22 m + V( 1u )
Substituindo na equação da energia:
dotu = dudtheta cdot dthetadt = dudtheta cdot L u^2m
Para relacionar com , usamos a relação . Sabendo que , temos:
Passo 6
Substituindo E = 12 m ( dudtheta cdot L u^2m )^2 1u^4 + L^2 u^22 m + V( 1u ) na equação da energia:
E = L^22 m ( dudtheta )^2 + L^2 u^22 m + V( 1u )
Simplificando:
Essa é a equação que descreve a trajetória da partícula, conforme solicitado.
Passo 7
Agora, vamos usar essa equação para encontrar o ângulo de espalhamento dudtheta = raiz 2 mL^2 ( E - L^2 u^22 m - V( 1u ) ) . O ângulo de espalhamento está relacionado ao parâmetro de impacto dtheta = duraiz 2 mL^2 ( E - L^2 u^22 m - V( 1u ) ) , à velocidade inicial Theta = | pi - 2 b integral0^u0 duraiz1 - b^2 u^2 - V( 1u )12 m v0^2 | e ao ponto onde a expressão dentro da raiz se anula.
A partir da equação da trajetória, isolamos :
Rearranjando para integrar em termos de :
Integrando de a e multiplicando por 2 para considerar ida e volta, temos:
onde é o parâmetro de impacto, é a velocidade inicial, e é o valor onde o denominador se anula.
Resposta
Theta = | pi - 2 b integral0^u0 duraiz1 - b^2 u^2 - V( 1u )12 m v0^2 |