Acumula-se areia num monte de forma de um cone circular reto a razão de
. O raio da base do monte (cone) é sempre igual a metade de sua altura. Com que velocidade cresce a altura do monte quando este possui 2 m de altura?
Dado: volume do cone:
.
Dado: volume do cone:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um monte de areia que está crescendo na forma de um cone. A areia está acumulando a uma taxa de
. Sabemos que o raio da base do cone é sempre metade da altura. Nosso objetivo é descobrir quão rápido a altura desse monte está aumentando quando a altura é de 2 metros.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente taxas relacionadas (derivadas), e a fórmula do volume do cone:
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar o raio
com a altura
. Dizendo que o raio é sempre metade da altura, temos:
Isso nos ajuda a expressar o volume
apenas em termos de
.
Passo 3
Substituímos
na fórmula do volume:
Então, a expressão do volume agora é:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação com relação ao tempo
:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que
e queremos encontrar
quando
. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Resposta
A altura do monte está crescendo a uma velocidade de
quando a altura é de 2 metros.