Acumula-se areia num monte de forma de um cone circular reto a razão de . O raio da base do monte (cone) é sempre igual a metade de sua altura. Com que velocidade cresce a altura do monte quando este possui 2 m de altura?
Dado: volume do cone: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um monte de areia que está crescendo na forma de um cone. A areia está acumulando a uma taxa de . Sabemos que o raio da base do cone é sempre metade da altura. Nosso objetivo é descobrir quão rápido a altura desse monte está aumentando quando a altura é de 2 metros.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente taxas relacionadas (derivadas), e a fórmula do volume do cone:
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar o raio com a altura . Dizendo que o raio é sempre metade da altura, temos:
Isso nos ajuda a expressar o volume apenas em termos de .
Passo 3
Substituímos na fórmula do volume:
Então, a expressão do volume agora é:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação com relação ao tempo :
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que e queremos encontrar quando . Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 6
Agora, isolamos :
Resposta
A altura do monte está crescendo a uma velocidade de quando a altura é de 2 metros.