Se
é limitado superiormente, mostre que
também é limitado superiormente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um conjunto
de números reais que é limitado superiormente. A gente precisa provar que o fecho desse conjunto, chamado de
, também é limitado superiormente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise real, especificamente sobre conjuntos limitados e fecho de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser limitado superiormente. Diz que existe um número real
tal que todo elemento de
é menor ou igual a
. Ou seja,
Passo 3
Agora, precisamos entender o que é o fecho
de um conjunto
. O fecho de
inclui todos os pontos de
mais todos os seus pontos de acumulação (limites). Então,
Passo 4
Como
é limitado superiormente por
, todos os pontos de
são menores ou iguais a
. Precisamos verificar se os pontos de acumulação também respeitam esse limite.
Passo 5
Seja
um ponto de acumulação de
. Por definição, qualquer intervalo ao redor de
contém pontos de
. Como todos esses pontos são menores ou iguais a
, o limite
também não pode exceder
. Portanto,
Passo 6
Como todos os elementos de
e todos os seus pontos de acumulação são menores ou iguais a
, concluímos que o fecho
também é limitado superiormente por
.
Resposta
O fecho
do conjunto
também é limitado superiormente pelo mesmo número
que limita
.
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, nos quais:
(a) a reta tangente é horizontal.
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Se
é limitado superiormente, mostre que
.
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.
(a) Qual a velocidade do objeto no instante e
?
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