Se X ⊆ R é limitado superiormente, mostre que X_barra também é limitado superiormente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um conjunto de números reais que é limitado superiormente. A gente precisa provar que o fecho desse conjunto, chamado de , também é limitado superiormente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise real, especificamente sobre conjuntos limitados e fecho de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser limitado superiormente. Diz que existe um número real tal que todo elemento de é menor ou igual a . Ou seja,

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é o fecho de um conjunto . O fecho de inclui todos os pontos de mais todos os seus pontos de acumulação (limites). Então,

Passo 4

Como é limitado superiormente por , todos os pontos de são menores ou iguais a . Precisamos verificar se os pontos de acumulação também respeitam esse limite.

Passo 5

Seja um ponto de acumulação de . Por definição, qualquer intervalo ao redor de contém pontos de . Como todos esses pontos são menores ou iguais a , o limite também não pode exceder . Portanto,

Passo 6

Como todos os elementos de e todos os seus pontos de acumulação são menores ou iguais a , concluímos que o fecho também é limitado superiormente por .

Resposta

O fecho do conjunto também é limitado superiormente pelo mesmo número que limita .

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