Determine as abscissas dos pontos do gráfico de y = x^3 + 2*x^2 - 4*x + 5, nos quais:
(a) a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as abscissas (os valores de ) dos pontos no gráfico de onde a reta tangente é horizontal. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função em relação a para encontrar a expressão da inclinação da reta tangente. A derivada de , denotada por , nos dá essa inclinação.
A função dada é:
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, queremos que a reta tangente seja horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação igual a zero. Então, vamos igualar a derivada a zero e resolver para :

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

As abscissas dos pontos onde a reta tangente é horizontal são e .

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