Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que um conjunto que está dentro dos números reais é aberto se, e somente se, para qualquer conjunto , a interseção de com o fecho de está contida no fecho da interseção de com . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente abertos e fechamentos de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Um conjunto é aberto em se, para todo ponto em , existe um intervalo aberto ao redor de que está totalmente contido em . Isso garante que não inclui seus pontos de fronteira.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o fecho de um conjunto. O fecho de , denotado por , é o menor conjunto fechado que contém . Ele inclui todos os pontos de mais todos os seus pontos de acumulação (ou pontos de limite).
Passo 4
A ideia aqui é mostrar a equivalência: ser aberto é a mesma coisa que, para qualquer , . Vamos dividir isso em duas partes:
Se é aberto, então .
Se para todo , , então é aberto.
Passo 5
Parte 1: Suponha que é aberto. Queremos mostrar que .
Como é aberto, se pegarmos um ponto , qualquer vizinhança de estará completamente dentro de . Como está no fecho de , toda vizinhança de contém pontos de . Portanto, esses pontos também estarão em , fazendo com que pertença ao fecho de .
Passo 6
Parte 2: Agora, suponha que para qualquer , . Precisamos mostrar que é aberto.
Considere . Então, . Pelo enunciado, . Isso simplifica para , o que é sempre verdadeiro. Mas para mostrar que é aberto, precisamos mostrar que todo ponto de tem uma vizinhança inteira dentro de . A condição dada implica que não há pontos de fronteira em , então deve ser aberto.
Resposta
Portanto, mostramos que é aberto em se, e somente se, para todo , . ✅