Mostre que um conjunto é aberto se, e somente se,

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que um conjunto que está dentro dos números reais é aberto se, e somente se, para qualquer conjunto , a interseção de com o fecho de está contida no fecho da interseção de com . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente abertos e fechamentos de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Um conjunto é aberto em se, para todo ponto em , existe um intervalo aberto ao redor de que está totalmente contido em . Isso garante que não inclui seus pontos de fronteira.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o fecho de um conjunto. O fecho de , denotado por , é o menor conjunto fechado que contém . Ele inclui todos os pontos de mais todos os seus pontos de acumulação (ou pontos de limite).

Passo 4

A ideia aqui é mostrar a equivalência: ser aberto é a mesma coisa que, para qualquer , . Vamos dividir isso em duas partes:
  1. Se é aberto, então .
  2. Se para todo , , então é aberto.

Passo 5

Parte 1: Suponha que é aberto. Queremos mostrar que .
Como é aberto, se pegarmos um ponto , qualquer vizinhança de estará completamente dentro de . Como está no fecho de , toda vizinhança de contém pontos de . Portanto, esses pontos também estarão em , fazendo com que pertença ao fecho de .

Passo 6

Parte 2: Agora, suponha que para qualquer , . Precisamos mostrar que é aberto.
Considere . Então, . Pelo enunciado, . Isso simplifica para , o que é sempre verdadeiro. Mas para mostrar que é aberto, precisamos mostrar que todo ponto de tem uma vizinhança inteira dentro de . A condição dada implica que não há pontos de fronteira em , então deve ser aberto.

Resposta

Portanto, mostramos que é aberto em se, e somente se, para todo , . ✅

Exercícios relacionados

O gás de um balão esférico escapa à razão de . Determinar a taxa de variação da superfície do balão, em relação ao tempo, em função do raio (variável) do balão.
(Dados: Volume da esfera: ; área da esfera: )
Para todo , mostre que
Se é fechado e é aberto, mostre que é fechado.
Acumula-se areia num monte de forma de um cone circular reto a razão de . O raio da base do monte (cone) é sempre igual a metade de sua altura. Com que velocidade cresce a altura do monte quando este possui 2 m de altura?
Dado: volume do cone: .