Se
é fechado e
é aberto, mostre que
é fechado.
Passo 1
Beleza! A gente tem um conjunto
que é fechado e um conjunto
que é aberto. O exercício quer que a gente mostre que a diferença entre esses dois conjuntos, ou seja,
, também é fechado. Vamos precisar entender um pouco sobre conjuntos abertos e fechados na topologia e usar algumas propriedades básicas dessas ideias para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser fechado. Um conjunto é fechado se o seu complemento (ou seja, tudo que não está no conjunto) é aberto. Então, se
é fechado, isso significa que
é aberto.
Passo 3
Da mesma forma, sabemos que
é aberto por definição. Agora, queremos analisar
. Essa diferença pode ser escrita como
, ou seja, tudo que está em
e não está em
.
Passo 4
Sabemos que
é aberto, então o complemento de
,
, é fechado. No entanto, queremos
. Aqui, estamos fazendo a interseção de dois conjuntos fechados:
e
.
Passo 5
Uma propriedade importante na topologia é que a interseção de conjuntos fechados é também um conjunto fechado. Então, se
é fechado e
é fechado, então
também é fechado.
Resposta
Portanto,
é fechado.