Beleza! A gente tem um conjunto que é fechado e um conjunto que é aberto. O exercício quer que a gente mostre que a diferença entre esses dois conjuntos, ou seja, , também é fechado. Vamos precisar entender um pouco sobre conjuntos abertos e fechados na topologia e usar algumas propriedades básicas dessas ideias para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser fechado. Um conjunto é fechado se o seu complemento (ou seja, tudo que não está no conjunto) é aberto. Então, se é fechado, isso significa que é aberto.
Passo 3
Da mesma forma, sabemos que é aberto por definição. Agora, queremos analisar . Essa diferença pode ser escrita como , ou seja, tudo que está em e não está em .
Passo 4
Sabemos que é aberto, então o complemento de , , é fechado. No entanto, queremos . Aqui, estamos fazendo a interseção de dois conjuntos fechados: e .
Passo 5
Uma propriedade importante na topologia é que a interseção de conjuntos fechados é também um conjunto fechado. Então, se é fechado e é fechado, então também é fechado.