Se é fechado e é aberto, mostre que é fechado.

Passo 1

Beleza! A gente tem um conjunto que é fechado e um conjunto que é aberto. O exercício quer que a gente mostre que a diferença entre esses dois conjuntos, ou seja, , também é fechado. Vamos precisar entender um pouco sobre conjuntos abertos e fechados na topologia e usar algumas propriedades básicas dessas ideias para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser fechado. Um conjunto é fechado se o seu complemento (ou seja, tudo que não está no conjunto) é aberto. Então, se é fechado, isso significa que é aberto.

Passo 3

Da mesma forma, sabemos que é aberto por definição. Agora, queremos analisar . Essa diferença pode ser escrita como , ou seja, tudo que está em e não está em .

Passo 4

Sabemos que é aberto, então o complemento de , , é fechado. No entanto, queremos . Aqui, estamos fazendo a interseção de dois conjuntos fechados: e .

Passo 5

Uma propriedade importante na topologia é que a interseção de conjuntos fechados é também um conjunto fechado. Então, se é fechado e é fechado, então também é fechado.

Resposta

Portanto, é fechado.

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