ada a funçäo z=raizx y^2-5, Encontre partial zpartial x(1,3) e partial zpartial y(1,3) e resolva a expressão
3(partial zpartial x(1,3))^-2-5(partial zpartial y(1,3))^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto (1, 3). Depois, vamos usar esses valores para calcular a expressão . Vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de z = (x y^2 - 5)^12 em relação a partial zpartial x = 12 (x y^2 - 5)^-12 cdot y^2 , ou seja, . A derivada parcial mede como muda quando mudamos , mantendo constante.
A função é . Vamos reescrever usando expoentes fracionários:
Aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de z = (x y^2 - 5)^12 em relação a partial zpartial y = 12 (x y^2 - 5)^-12 cdot 2x y , ou seja, partial zpartial y = x y(x y^2 - 5)^12 . Aqui, a gente vê como muda quando mudamos , mantendo constante.
Usando a mesma forma reescrita:
Aplicamos novamente a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial zpartial x(1,3) = 12 (1 cdot 3^2 - 5)^-12 cdot 3^2 . Substituímos 1 cdot 9 - 5 = 4 e partial zpartial x(1,3) = 12 cdot 4^-12 cdot 9 na expressão da derivada parcial em relação a partial zpartial x(1,3) = 12 cdot 12 cdot 9 = 94 :
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Sabendo que :

Passo 5

Agora, vamos calcular partial zpartial y(1,3) = 1 cdot 3(1 cdot 3^2 - 5)^12 . Substituímos 1 cdot 9 - 5 = 4 e partial zpartial y(1,3) = 34^12 = 32 na expressão da derivada parcial em relação a :
Calculando dentro do parênteses:
Então:

Passo 6

Agora que temos 3(94)^-2 - 5(32)^-1 e (94)^-2 = (49)^2 = 1681 , vamos substituir esses valores na expressão dada:
3 cdot 1681 = 4881 = 1627
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
(32)^-1 = 23
Então:
5 cdot 23 = 103
Segundo termo:
1627 - 103 = 1627 - 9027 = -7427
Então:
Agora, subtraindo os dois resultados:

Resposta

A expressão vale .

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