Sabendo que e , determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações aqui: e . O que precisamos fazer é encontrar o determinante de uma matriz que envolve as derivadas parciais de e em relação a e . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e determinantes de matrizes jacobianas. Vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e como achar o determinante de uma matriz 2x2.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
Para :
Aqui, a derivada de em relação a é 1, e é tratado como uma constante.
Para :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , multiplicando pelo coeficiente .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
Para :
Novamente, a derivada de em relação a é 1, e é tratado como constante.
Para :
Usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , multiplicando pelo coeficiente .

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos montar a matriz que foi dada no enunciado:

[


]

Passo 5

Por fim, vamos calcular o determinante dessa matriz 2x2. A fórmula para o determinante de uma matriz
é . Aplicando isso à nossa matriz:
Simplificando:

Resposta

O determinante é . Sabendo que , a resposta final é .

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Determine as derivadas parciais de segunda ordem da seguinte função:
Construa os gráficos das funções definidas em :
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
ada a funçäo , Encontre e e resolva a expressão