Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações aqui: e . O que precisamos fazer é encontrar o determinante de uma matriz que envolve as derivadas parciais de e em relação a e . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e determinantes de matrizes jacobianas. Vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e como achar o determinante de uma matriz 2x2.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de partial xpartial p = partialpartial p (p cos theta) = cos theta em relação a partial xpartial theta = partialpartial theta (p cos theta) = -p sin theta e a .
Para :
Aqui, a derivada de em relação a é 1, e é tratado como uma constante.
Para :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , multiplicando pelo coeficiente .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial ypartial p = partialpartial p (p sin theta) = sin theta em relação a partial ypartial theta = partialpartial theta (p sin theta) = p cos theta e a .
Para :
Novamente, a derivada de em relação a é 1, e é tratado como constante.
Para :
Usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , multiplicando pelo coeficiente .
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos montar a matriz que foi dada no enunciado:
[ ll partial xpartial p & partial xpartial theta partial ypartial p & partial ypartial theta = ll cos theta & -p sin theta sin theta & p cos theta
]
Passo 5
Por fim, vamos calcular o determinante dessa matriz 2x2. A fórmula para o determinante de uma matriz
ll a & b c & d
é Determinante = (cos theta)(p cos theta) - (-p sin theta)(sin theta) . Aplicando isso à nossa matriz:
= p cos^2 theta + p sin^2 theta
Simplificando:
Resposta
O determinante é . Sabendo que , a resposta final é .