Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
usando a Regra da Cadeia. A gente vai precisar entender como as variáveis estão interligadas e aplicar a derivada corretamente. Então, bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como
depende de
e
, e como
e
dependem de
,
e
. Temos:
Para achar, por exemplo,
, precisamos ver como
muda quando
muda, considerando que
e
também dependem de
.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. A regra diz que:
E de modo similar para
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
Primeiro, derivadas de
em relação a
e
:
Agora, derivadas de
e
em relação a
,
e
:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na expressão da Regra da Cadeia:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores
,
e
nas expressões que encontramos. Primeiro, precisamos achar
e
nesses valores:
Agora, substituindo
,
,
,
, e
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Então, as derivadas parciais avaliadas em
,
e
são: