Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
z=x^2+x y^3, x=u v^2+w^3, y=u+v e^w, partial zpartial u, partial zpartial v^prime, partial zpartial w, quando u=2, v=1 e w=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a , e usando a Regra da Cadeia. A gente vai precisar entender como as variáveis estão interligadas e aplicar a derivada corretamente. Então, bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como z = x^2 + x y^3, x = u v^2 + w^3, y = u + v e^w depende de e , e como e dependem de , e . Temos:
Para achar, por exemplo, , precisamos ver como muda quando muda, considerando que e também dependem de .

Passo 3

Vamos aplicar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. A regra diz que:
partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u
E de modo similar para e .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
Primeiro, derivadas de partial zpartial x = 2x + y^3, partial zpartial y = 3x y^2 em relação a partial xpartial u = v^2, partial xpartial v = 2u v, partial xpartial w = 3w^2 e partial ypartial u = 1, partial ypartial v = e^w, partial ypartial w = v e^w :
Agora, derivadas de e em relação a , e :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na expressão da Regra da Cadeia:
Para partial zpartial u = (2x + y^3) cdot v^2 + 3x y^2 cdot 1 :
partial zpartial v = (2x + y^3) cdot 2u v + 3x y^2 cdot e^w
Para partial zpartial w = (2x + y^3) cdot 3w^2 + 3x y^2 cdot v e^w :
Para :

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores x = 2 cdot 1^2 + 0^3 = 2 , y = 2 + 1 cdot e^0 = 2 + 1 = 3 e (2 cdot 2 + 3^3) cdot 1^2 + 3 cdot 2 cdot 3^2 = (4 + 27) cdot 1 + 6 cdot 9 = 31 + 54 = 85 nas expressões que encontramos. Primeiro, precisamos achar (2 cdot 2 + 3^3) cdot 2 cdot 2 cdot 1 + 3 cdot 2 cdot 3^2 cdot e^0 = 31 cdot 4 + 54 cdot 1 = 124 + 54 = 178 e (2 cdot 2 + 3^3) cdot 3 cdot 0^2 + 3 cdot 2 cdot 3^2 cdot 1 cdot e^0 = 31 cdot 0 + 54 cdot 1 = 0 + 54 = 54 nesses valores:
Agora, substituindo , , , , e :
Para :
Para :
Para :

Resposta

Então, as derivadas parciais avaliadas em partial zpartial u = 85, partial zpartial v = 178, partial zpartial w = 54 , e são:

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