y'(x) = x^(-2) - 6 x^2 - 1/3, y(1) = -1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de em relação a é igual a . Além disso, sabemos que quando , . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, já que queremos encontrar a função que satisfaz essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que precisamos integrar:
Isso significa que a derivada de em relação a é essa expressão. Para encontrar , precisamos integrar essa expressão com relação a .

Passo 3

Vamos calcular a integral de cada termo separadamente:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, juntando todas as integrais, a solução geral para é:
Precisamos determinar o valor de usando a condição inicial .

Passo 5

Vamos substituir e na equação:
Simplificando:
Para achar , somamos nos dois lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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