Use a mudança de variáveis y=-x para concluir que
integral-a^0 f(x) d x=-integral0^a f(y) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos uma mudança de variável, onde integral-a^0 f(x) , dx = -integral0^a f(y) , dy , e mostrar que
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a técnica de substituição. Vamos precisar alterar os limites de integração e a própria variável dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variável proposta: x = -y . Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dxdy = -1 Rightarrow dx = -dy em relação a para encontrar :

Passo 4

Vamos também mudar os limites de integração. Quando y = -(-a) = a :
y = -0 = 0
E quando :
Então, os novos limites para vão de até .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral-a^0 f(x) , dx = integrala^0 f(-y) cdot (-dy)

Passo 6

Simplificando a expressão, trocando os limites de integração e tirando o sinal negativo:
integrala^0 f(-y) cdot (-dy) = integral0^a f(-y) , dy

Passo 7

Agora, se considerarmos que integral0^a f(-y) , dy = integral0^a f(y) , dy é apenas a função avaliada em , podemos escrever:

Resposta

Portanto,
integral-a^0 f(x) , dx = -integral0^a f(y) , dy

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