Admita que represente uma distribuição de temperatura no plano xy: é a temperatura no ponto (supondo em e ). Estando-se em , qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento nessa direção?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura no plano xy: . Queremos descobrir em qual direção e sentido a temperatura cresce mais rapidamente quando estamos no ponto , além de calcular a taxa de crescimento nessa direção. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função, que nos dá exatamente a direção de maior crescimento e a taxa de variação nessa direção.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a x e y. Ou seja:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico :
Esse vetor nos dá a direção de maior crescimento da temperatura no ponto considerado.

Passo 4

Para encontrar o sentido dessa direção, observamos que os componentes do vetor gradiente são positivos, o que indica que a temperatura aumenta na direção positiva de x e y. Portanto, a direção de maior crescimento é na direção do vetor .

Passo 5

Finalmente, para encontrar a taxa de crescimento nessa direção, calculamos o módulo do gradiente no ponto:
Isso significa que a temperatura está aumentando a uma taxa de 5 °C por centímetro na direção de maior crescimento.

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura no ponto é na direção do vetor e a taxa de crescimento nessa direção é de 5 °C/cm.

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