Admita que
represente uma distribuição de temperatura no plano xy:
é a temperatura no ponto
(supondo
em
e
). Estando-se em
, qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento nessa direção?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura no plano xy:
. Queremos descobrir em qual direção e sentido a temperatura cresce mais rapidamente quando estamos no ponto
, além de calcular a taxa de crescimento nessa direção. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função, que nos dá exatamente a direção de maior crescimento e a taxa de variação nessa direção.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a x e y. Ou seja:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico
:
Esse vetor
nos dá a direção de maior crescimento da temperatura no ponto considerado.
Passo 4
Para encontrar o sentido dessa direção, observamos que os componentes do vetor gradiente são positivos, o que indica que a temperatura aumenta na direção positiva de x e y. Portanto, a direção de maior crescimento é na direção do vetor
.
Passo 5
Finalmente, para encontrar a taxa de crescimento nessa direção, calculamos o módulo do gradiente no ponto:
Isso significa que a temperatura está aumentando a uma taxa de 5 °C por centímetro na direção de maior crescimento.
Resposta
A direção de maior crescimento da temperatura no ponto
é na direção do vetor
e a taxa de crescimento nessa direção é de 5 °C/cm.
Exercícios relacionados
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
Seja
. Qual o valor máximo de
?
Encontre
sendo
seny,
e
.
Defina vetor gradiente.