Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir em qual direção e sentido a função cresce mais rápido e onde ela decresce mais rápido no ponto . Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função, que nos indica a direção de crescimento mais rápido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa a norma, ou seja, a distância euclidiana do ponto até a origem. Assim, a função dada é , que pode ser simplificada para usando propriedades dos logaritmos.

Passo 3

Para encontrar a direção em que a função cresce mais rapidamente, calculamos o gradiente da função. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Isso significa que a direção de crescimento mais rápido da função nesse ponto é na direção do vetor .

Passo 6

Para encontrar a direção de decrescimento mais rápido, simplesmente pegamos o vetor contrário ao gradiente:
Ou seja, a função decresce mais rapidamente na direção de .

Resposta

No ponto , a função cresce mais rapidamente na direção do vetor e decresce mais rapidamente na direção do vetor .

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