Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir em qual direção e sentido a função
cresce mais rápido e onde ela decresce mais rápido no ponto
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função, que nos indica a direção de crescimento mais rápido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa a norma, ou seja, a distância euclidiana do ponto
até a origem. Assim, a função dada é
, que pode ser simplificada para
usando propriedades dos logaritmos.
Passo 3
Para encontrar a direção em que a função cresce mais rapidamente, calculamos o gradiente da função. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Isso significa que a direção de crescimento mais rápido da função nesse ponto é na direção do vetor
.
Passo 6
Para encontrar a direção de decrescimento mais rápido, simplesmente pegamos o vetor contrário ao gradiente:
Ou seja, a função decresce mais rapidamente na direção de
.
Resposta
No ponto
, a função
cresce mais rapidamente na direção do vetor
e decresce mais rapidamente na direção do vetor
.
Exercícios relacionados
Seja
. Qual o valor máximo de
?
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de
até
© ;
©
Admita que
represente uma distribuição de temperatura no plano xy:
é a temperatura no ponto
(supondo
em
e
). Estando-se em
, qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento nessa direção?
Encontre
sendo
seny,
e
.