Seja . Qual o valor máximo de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para achar o valor máximo da derivada direcional de no ponto . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de derivadas direcionais e o conceito de gradiente. Precisamos entender como calcular o gradiente de e como ele nos ajuda a encontrar a direção onde a derivada direcional é máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de . O gradiente de uma função de duas variáveis, , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de . Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 4

A derivada direcional máxima no ponto acontece na direção do próprio gradiente. Para encontrar o valor máximo, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) do vetor gradiente nesse ponto. O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso:

Resposta

O valor máximo de é .

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