Seja
. Qual o valor máximo de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para achar o valor máximo da derivada direcional de
no ponto
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de derivadas direcionais e o conceito de gradiente. Precisamos entender como calcular o gradiente de
e como ele nos ajuda a encontrar a direção onde a derivada direcional é máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de
. O gradiente de uma função de duas variáveis,
, é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
A derivada direcional máxima no ponto
acontece na direção do próprio gradiente. Para encontrar o valor máximo, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) do vetor gradiente nesse ponto. O módulo de um vetor
é dado por:
Aplicando isso:
Resposta
O valor máximo de
é
.
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até
© ;
©
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represente uma distribuição de temperatura no plano xy:
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(supondo
em
e
). Estando-se em
, qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento nessa direção?