Seja f(x, y)=x^2 y. Qual o valor máximo de partial fpartial u(1,1)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para achar o valor máximo da derivada direcional de no ponto . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de derivadas direcionais e o conceito de gradiente. Precisamos entender como calcular o gradiente de e como ele nos ajuda a encontrar a direção onde a derivada direcional é máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente de uma função de duas variáveis, partial fpartial x = 2xy , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de partial fpartial y = x^2 . Ou seja:
nabla f(x, y) = (2xy, x^2)
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(1, 1) = (2 cdot 1 cdot 1, 1^2) = (2, 1) :

Passo 4

A derivada direcional máxima no ponto | nabla f | = raiza^2 + b^2 acontece na direção do próprio gradiente. Para encontrar o valor máximo, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) do vetor gradiente nesse ponto. O módulo de um vetor | nabla f(1, 1) | = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5 é dado por:
Aplicando isso:

Resposta

O valor máximo de é .

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