Defina vetor gradiente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para definir o vetor gradiente. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como elas se juntam para formar o gradiente.
Passo 2
Primeiro, lembra que quando temos uma função que depende de mais de uma variável, tipo
, a gente pode calcular a derivada em relação a cada uma dessas variáveis individualmente. Essas são chamadas de derivadas parciais. Por exemplo, a derivada parcial em relação a
é
e em relação a
é
.
Passo 3
O vetor gradiente pega todas essas derivadas parciais e as organiza em um vetor. Basicamente, ele reúne toda a informação sobre como a função está mudando em cada direção. Esse vetor aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente.
Passo 4
Matematicamente, para uma função
, o gradiente é representado como:
Cada componente desse vetor é uma derivada parcial da função em relação a uma das suas variáveis.
Resposta
O vetor gradiente de uma função
é definido como o vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a cada uma das suas variáveis. Matematicamente, é representado por:
Esse vetor indica a direção de maior aumento da função e é fundamental para entender como a função se comporta em diferentes pontos do seu domínio.
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Encontre
sendo
seny,
e
.
Admita que
represente uma distribuição de temperatura no plano xy:
é a temperatura no ponto
(supondo
em
e
). Estando-se em
, qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento nessa direção?
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é dada implicitamente pela equação
5. Expresse
e
em termos de
e
.
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