Defina vetor gradiente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para definir o vetor gradiente. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como elas se juntam para formar o gradiente.

Passo 2

Primeiro, lembra que quando temos uma função que depende de mais de uma variável, tipo , a gente pode calcular a derivada em relação a cada uma dessas variáveis individualmente. Essas são chamadas de derivadas parciais. Por exemplo, a derivada parcial em relação a é e em relação a é .

Passo 3

O vetor gradiente pega todas essas derivadas parciais e as organiza em um vetor. Basicamente, ele reúne toda a informação sobre como a função está mudando em cada direção. Esse vetor aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente.

Passo 4

Matematicamente, para uma função , o gradiente é representado como:
Cada componente desse vetor é uma derivada parcial da função em relação a uma das suas variáveis.

Resposta

O vetor gradiente de uma função é definido como o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a cada uma das suas variáveis. Matematicamente, é representado por:
Esse vetor indica a direção de maior aumento da função e é fundamental para entender como a função se comporta em diferentes pontos do seu domínio.

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