Encontre
sendo
seny,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. A função que temos é:
Além disso, as variáveis
e
são dadas em termos de
e
:
Vamos precisar usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais, que nos permite calcular a derivada de uma função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia. Quando temos uma função
que depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de
e
, a derivada parcial de
em relação a
ou
envolve derivadas parciais dessas variáveis intermediárias.
Matematicamente, para
:
E para
:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Agora, precisamos das derivadas de
e
em relação a
e
:
Passo 4
Vamos agora aplicar a Regra da Cadeia para encontrar
:
E para
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
nas expressões acima para deixar as derivadas em termos de
e
:
Para
:
E para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Admita que
represente uma distribuição de temperatura no plano xy:
é a temperatura no ponto
(supondo
em
e
). Estando-se em
, qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento nessa direção?
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
Defina vetor gradiente.
A função diferenciável
é dada implicitamente pela equação
5. Expresse
e
em termos de
e
.