Encontre partial fpartial t e partial fpartial s sendo f(x, y)=3 cos (x)- x^2 seny, x=2 t+s e y=t^2-2 s t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de f(x, y) = 3 cos(x) - x^2 sin(y) em relação a x = 2t + s e y = t^2 - 2st , ou seja, e . A função que temos é:
Além disso, as variáveis e são dadas em termos de e :
Vamos precisar usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais, que nos permite calcular a derivada de uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia. Quando temos uma função partial fpartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t que depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de partial fpartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s e , a derivada parcial de em relação a ou envolve derivadas parciais dessas variáveis intermediárias.
Matematicamente, para :
E para :

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = -3 sin(x) - 2x sin(y) em relação a partial fpartial y = -x^2 cos(y) e partial xpartial t = 2 :
partial xpartial s = 1
partial ypartial t = 2t - 2s
Agora, precisamos das derivadas de partial ypartial s = -2t e em relação a e :

Passo 4

Vamos agora aplicar a Regra da Cadeia para encontrar partial fpartial t = ( -3 sin(x) - 2x sin(y) ) cdot 2 + ( -x^2 cos(y) ) cdot (2t - 2s) :
partial fpartial s = ( -3 sin(x) - 2x sin(y) ) cdot 1 + ( -x^2 cos(y) ) cdot (-2t)
E para :

Passo 5

Agora, vamos substituir partial fpartial t = ( -3 sin(2t + s) - 2(2t + s) sin(t^2 - 2st) ) cdot 2 + ( -(2t + s)^2 cos(t^2 - 2st) ) cdot (2t - 2s) e partial fpartial s = ( -3 sin(2t + s) - 2(2t + s) sin(t^2 - 2st) ) cdot 1 + ( -(2t + s)^2 cos(t^2 - 2st) ) cdot (-2t) nas expressões acima para deixar as derivadas em termos de e :
Para :
E para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial t = ( -3 sin(2t + s) - 2(2t + s) sin(t^2 - 2st) ) cdot 2 + ( -(2t + s)^2 cos(t^2 - 2st) ) cdot (2t - 2s)
e
partial fpartial s = ( -3 sin(2t + s) - 2(2t + s) sin(t^2 - 2st) ) + ( -(2t + s)^2 cos(t^2 - 2st) ) cdot (-2t)

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