Admita que na equação x^4 + 3xy = 7 y possa ser expresso como função de x na vizinhança de P0(1, 2). Determine A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa expressar como uma função de perto do ponto . Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto . Para isso, vamos usar o diferencial implícito e calcular a derivada de em relação a , que nos dará a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a diferenciação. Temos:
Podemos reescrever isso como:
Isso vai ajudar na hora de aplicar a diferenciação implícita.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , usamos a regra do produto para o termo :
Calculando as derivadas:
Aqui, usamos a regra do produto para , derivando e multiplicando por mais vezes a derivada de .

Passo 4

Vamos isolar na equação:
Reunindo os termos com :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada no ponto :
Substituindo e na expressão:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto, usamos a fórmula da reta tangente , onde , e :
Expandindo:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

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