Determine alpha de modo que a equação x^3 - 3 x^2 - alpha = 0 apresente três raízes reais distintas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação cúbica e precisamos descobrir quais valores de fazem com que essa equação tenha três raízes reais e distintas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais e suas derivadas para analisar o comportamento da função e determinar as condições necessárias para que ela tenha três raízes reais diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma equação cúbica como essa pode ter até três raízes reais. Para garantir que todas sejam reais e distintas, a função associada a essa equação precisa ter dois pontos de máximo e mínimo, ou seja, a sua derivada precisa ter duas raízes distintas. Isso nos ajuda a identificar se a curva da função cruza o eixo três vezes diferentes.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação, ou seja, nos mostra onde a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 4

Agora, queremos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é zero. Resolvendo :
Isso nos dá duas soluções: e . Esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Vamos determinar os valores de nesses pontos críticos para entender onde estão os máximos e mínimos da função:
Para :
Para :

Passo 6

Para que a função tenha três raízes reais distintas, é necessário que o valor máximo seja positivo e o valor mínimo seja negativo. Isso garante que a função cruza o eixo três vezes.
Então, precisamos das seguintes condições:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 7

Unindo as duas desigualdades, temos:
Isso significa que deve estar entre e para que a equação tenha três ra��zes reais e distintas.

Resposta

Os valores de que fazem a equação ter três raízes reais distintas estão entre e . Ou seja, .

Exercícios relacionados