Determine
de modo que a equação
apresente três raízes reais distintas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação cúbica
e precisamos descobrir quais valores de
fazem com que essa equação tenha três raízes reais e distintas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais e suas derivadas para analisar o comportamento da função e determinar as condições necessárias para que ela tenha três raízes reais diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma equação cúbica como essa pode ter até três raízes reais. Para garantir que todas sejam reais e distintas, a função associada a essa equação precisa ter dois pontos de máximo e mínimo, ou seja, a sua derivada precisa ter duas raízes distintas. Isso nos ajuda a identificar se a curva da função cruza o eixo
três vezes diferentes.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação, ou seja, nos mostra onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 4
Agora, queremos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é zero. Resolvendo
:
Isso nos dá duas soluções:
e
. Esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Vamos determinar os valores de
nesses pontos críticos para entender onde estão os máximos e mínimos da função:
Para
:
Para
:
Passo 6
Para que a função
tenha três raízes reais distintas, é necessário que o valor máximo seja positivo e o valor mínimo seja negativo. Isso garante que a função cruza o eixo
três vezes.
Então, precisamos das seguintes condições:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 7
Unindo as duas desigualdades, temos:
Isso significa que
deve estar entre
e
para que a equação
tenha três ra��zes reais e distintas.
Resposta
Os valores de
que fazem a equação
ter três raízes reais distintas estão entre
e
. Ou seja,
.
Exercícios relacionados
Um balão de formato esférico é enchido com ar a uma vazão constante de
. Determine a taxa de variação intantânea do raio em relação ao tempo quando o raio for 3 m .
Admita que na equação
7 y possa ser expresso como função de
na vizinhança de
. Determine A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Derive as seguintes funções:
Calcule aproximadamente, via diferenciais, um valor aproximado para
.