Determine o polinômio de taylor de ordem 3 de
em torno de
.
Passo 1
Então, a gente tem que achar o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função
em torno de
. Isso faz parte do estudo de séries de Taylor na matemática, que ajuda a aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar elas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como montar o polinômio de Taylor. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem
em torno de
é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
até a terceira ordem:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Como todas as derivadas de
são iguais a
, isso facilita nosso cálculo.
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 3 para
em torno de
é: