Determine o polinômio de taylor de ordem 3 de em torno de .
Passo 1
Então, a gente tem que achar o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função em torno de . Isso faz parte do estudo de séries de Taylor na matemática, que ajuda a aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar elas em .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como montar o polinômio de Taylor. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem em torno de é:
No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de até a terceira ordem:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Como todas as derivadas de são iguais a , isso facilita nosso cálculo.
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em :
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 3 para em torno de é: