Determine o polinômio de taylor de ordem 3 de f(x) = e^x em torno de x0 = 3.

Passo 1

Então, a gente tem que achar o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função em torno de . Isso faz parte do estudo de séries de Taylor na matemática, que ajuda a aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar elas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como montar o polinômio de Taylor. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem em torno de é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de até a terceira ordem:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
Como todas as derivadas de são iguais a , isso facilita nosso cálculo.

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em :

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 para em torno de é:

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