Derive as seguintes funções: y = g(x) = (3 x^4 + x^2)^(6 x + 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função . Isso envolve cálculo de derivadas de funções compostas, usando especialmente a diferenciação logarítmica. Vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro passo é aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação:

Passo 3

Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente:

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados em relação a . No lado esquerdo, usamos a derivada do logaritmo:

Passo 5

No lado direito, aplicamos a regra do produto porque temos o produto de duas funções: e :

Passo 6

Agora, calculamos as derivadas individuais:
  1. Para , usamos a regra da cadeia:
  2. Para , a derivada é simplesmente:

Passo 7

Substituímos essas derivadas de volta na equação:

Passo 8

Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 9

Finalmente, substituímos pela expressão original :

Resposta

A derivada da função é:

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