Derive as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função
. Isso envolve cálculo de derivadas de funções compostas, usando especialmente a diferenciação logarítmica. Vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro passo é aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação:
Passo 3
Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente:
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, usamos a derivada do logaritmo:
Passo 5
No lado direito, aplicamos a regra do produto porque temos o produto de duas funções:
e
:
Passo 6
Agora, calculamos as derivadas individuais:
-
Para
, usamos a regra da cadeia: -
Para
, a derivada é simplesmente:
Passo 7
Substituímos essas derivadas de volta na equação:
Passo 8
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 9
Finalmente, substituímos
pela expressão original
:
Resposta
A derivada da função
é: