Um balão de formato esférico é enchido com ar a uma vazão constante de . Determine a taxa de variação intantânea do raio em relação ao tempo quando o raio for 3 m .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um balão esférico sendo enchido com ar a uma taxa constante de . Queremos descobrir quão rápido o raio do balão está aumentando exatamente quando o raio mede 3 metros. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas relacionadas, que nos ajuda a entender como uma quantidade muda em relação a outra.

Passo 2

Vamos começar lembrando a fórmula do volume de uma esfera, que é:
Aqui, é o volume e é o raio da esfera. Como o volume está mudando com o tempo, queremos relacionar a taxa de variação do volume ( ) com a taxa de variação do raio ( ).

Passo 3

Para relacionar e , vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo. Aplicando a derivada, temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos em relação a para obter e multiplicamos pela derivada de em relação ao tempo.

Passo 4

Agora, sabemos que m³/s e queremos encontrar quando m. Substituindo esses valores na equação:
Simplificando a equação:

Passo 5

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

A taxa de variação instantânea do raio quando o raio é 3 metros é .

Exercícios relacionados

Admita que na equação 7 y possa ser expresso como função de na vizinhança de . Determine A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Derive as seguintes funções:
Determine de modo que a equação apresente três raízes reais distintas.
Derive as seguintes funções: