Um balão de formato esférico é enchido com ar a uma vazão constante de
. Determine a taxa de variação intantânea do raio em relação ao tempo quando o raio for 3 m .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um balão esférico sendo enchido com ar a uma taxa constante de
. Queremos descobrir quão rápido o raio do balão está aumentando exatamente quando o raio mede 3 metros. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas relacionadas, que nos ajuda a entender como uma quantidade muda em relação a outra.
Passo 2
Vamos começar lembrando a fórmula do volume de uma esfera, que é:
Aqui,
é o volume e
é o raio da esfera. Como o volume está mudando com o tempo, queremos relacionar a taxa de variação do volume (
) com a taxa de variação do raio (
).
Passo 3
Para relacionar
e
, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo. Aplicando a derivada, temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos
em relação a
para obter
e multiplicamos pela derivada de
em relação ao tempo.
Passo 4
Agora, sabemos que
m³/s e queremos encontrar
quando
m. Substituindo esses valores na equação:
Simplificando a equação:
Passo 5
Para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Resposta
A taxa de variação instantânea do raio quando o raio é 3 metros é
.
Exercícios relacionados
Admita que na equação
7 y possa ser expresso como função de
na vizinhança de
. Determine A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Derive as seguintes funções:
Determine
de modo que a equação
apresente três raízes reais distintas.
Derive as seguintes funções: