Admita o seguinte teorema como sendo verdadeiro:
f(x+h)-f(x)/h é constanteé
Então, podemos concluir que f é uma função afim, ou seja, existem a e b reais tais que f(x) = a*x + b para todo x em R.Mostre que se f: R -> R é uma função afim, ou seja, f(x) = a*x + b, para todo x real, com a e b reais, então vale que
f(x+h)-f(x)/h é constanteé

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que se é uma função afim, ou seja, , então a expressão é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função afim e como calcular essa expressão usando álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função afim tem a forma , onde e são números reais. Isso significa que, para qualquer valor de , a função retorna um valor linear de .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Substituindo por na função, temos:
Expandindo os termos:

Passo 4

Em seguida, calculamos :
Simplificando:

Passo 5

Agora, dividimos essa diferença por :
Os se cancelam:

Resposta

Portanto, , que é um valor constante.

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