Considere a função f dada por
f(x)=(2x+a)/(bx+2)
em que a e b são números reais.
Determine todos os valores de a e b com os quais f é invertível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função , onde e são números reais. Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de e essa função é invertível.
Matéria envolvida: Funções e suas propriedades, especificamente a invertibilidade de funções racionais.
O que precisamos: Entender o que torna uma função invertível e aplicar isso à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser invertível. Uma função é invertível se ela possui uma função inversa, ou seja, se conseguimos “desfazer” a função original. Para que isso aconteça, a função precisa ser biunívoca (ou seja, injetora e sobrejetora):
  • Injetora (uma para uma): Cada valor de saída é produzido por no máximo um valor de entrada.
  • Sobrejetora (sobre): Cada valor de saída possível é atingido por pelo menos um valor de entrada.
No caso de funções racionais da forma , a condição para serem invertíveis está relacionada ao determinante formado pelos coeficientes.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Aqui, temos:
  • No numerador: (onde e )
  • No denominador: (onde e )
Para que a função seja invertível, o determinante formado pelos coeficientes deve ser diferente de zero. O determinante é calculado como:
Substituindo os valores:

Passo 4

Para garantir que o determinante não seja zero:
Resolvendo para e :
Isso significa que qualquer par de valores e desde que o produto deles não seja igual a 4 fará com que a função seja invertível.

Resposta

Todos os valores reais de e que satisfazem . Em outras palavras, é invertível para qualquer e tais que não seja igual a 4.

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