Considere a função
dada por
em que
e
são números reais.
Determine todos os valores de
e
com os quais
é invertível.
Determine todos os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função
, onde
e
são números reais. Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de
e
essa função é invertível.
Matéria envolvida: Funções e suas propriedades, especificamente a invertibilidade de funções racionais.
O que precisamos: Entender o que torna uma função invertível e aplicar isso à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser invertível. Uma função é invertível se ela possui uma função inversa, ou seja, se conseguimos “desfazer” a função original. Para que isso aconteça, a função precisa ser biunívoca (ou seja, injetora e sobrejetora):
- Injetora (uma para uma): Cada valor de saída é produzido por no máximo um valor de entrada.
- Sobrejetora (sobre): Cada valor de saída possível é atingido por pelo menos um valor de entrada.
No caso de funções racionais da forma
, a condição para serem invertíveis está relacionada ao determinante formado pelos coeficientes.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Aqui, temos:
- No numerador:
(onde e ) - No denominador:
(onde e )
Para que a função seja invertível, o determinante formado pelos coeficientes deve ser diferente de zero. O determinante
é calculado como:
Substituindo os valores:
Passo 4
Para garantir que o determinante não seja zero:
Resolvendo para
e
:
Isso significa que qualquer par de valores
e
desde que o produto deles não seja igual a 4 fará com que a função seja invertível.
Resposta
Todos os valores reais de
e
que satisfazem
. Em outras palavras,
é invertível para qualquer
e
tais que
não seja igual a 4.