Admita que representa uma distribuiçăo de temperatura no plano . Qual é a taxa de crescimento nesta direçäo?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura no plano , dada por:
A pergunta quer saber qual é a taxa de crescimento nessa direção. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e o gradiente, que nos ajudam a encontrar a direção em que a função cresce mais rápido.

Passo 2

A taxa de crescimento que estamos procurando está relacionada ao gradiente da função . O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção onde a função aumenta mais rapidamente, e a magnitude desse vetor nos dá a taxa de crescimento nessa direção. Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Vamos derivar termo a termo:
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a usa a regra da cadeia:
  3. Derivada de em relação a é (porque não tem ).
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a também usa a regra da cadeia:
  3. Derivada de em relação a é .
Então, juntando tudo:

Resposta

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente da função é:
Esse vetor nos dá a direção em que a temperatura está crescendo mais rapidamente, e a magnitude desse vetor representa a taxa de crescimento nessa direção específica.

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