Admita que
representa uma distribuiçăo de temperatura no plano
. Qual é a taxa de crescimento nesta direçäo?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura no plano
, dada por:
A pergunta quer saber qual é a taxa de crescimento nessa direção. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e o gradiente, que nos ajudam a encontrar a direção em que a função cresce mais rápido.
Passo 2
A taxa de crescimento que estamos procurando está relacionada ao gradiente da função
. O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção onde a função aumenta mais rapidamente, e a magnitude desse vetor nos dá a taxa de crescimento nessa direção. Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Vamos derivar termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a usa a regra da cadeia: - Derivada de
em relação a é (porque não tem ).
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a também usa a regra da cadeia: - Derivada de
em relação a é .
Então, juntando tudo:
Resposta
Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente da função
é:
Esse vetor
nos dá a direção em que a temperatura está crescendo mais rapidamente, e a magnitude desse vetor representa a taxa de crescimento nessa direção específica.