Considerando que algumas EDOs podem envolver funções com integrais não elementares, resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que você enviou! A equação que temos é:
Esse problema está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente uma EDO separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação é separável, ou seja, podemos escrever tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro lado. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Agora, temos
e
de um lado e
e
do outro.
Passo 3
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial.
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 4
Começando pela integral do lado esquerdo:
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos para a integral do lado direito:
Essa integral é conhecida como uma integral de Fresnel e não possui uma expressão em termos de funções elementares. Podemos representá-la usando a Função de Fresnel S, mas para fins de solução geral, vamos mantê-la na forma integral:
Onde
é a função de Fresnel e
é outra constante de integração.
Passo 6
Igualando os resultados das integrais dos dois lados, temos:
Podemos simplificar as constantes de integração combinando
e
em uma única constante
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor da constante
.
Substituindo
e
na equação:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Isolando
:
Passo 8
Finalmente, substituímos o valor de
de volta na nossa equação geral:
Podemos rearranjar para expressar
em termos de
:
Resposta
A solução da EDO com a condição inicial dada é:
Onde
representa a função de Fresnel S.
Exercícios relacionados
Admita que
representa uma distribuiçăo de temperatura no plano
. Qual é a taxa de crescimento nesta direçäo?
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(j)
(j)
Admita que
representa uma distribuiçăo de temperatura no plano
. Determine
, onde
é o versor de
.
Admita que
representa uma distribuiçăo de temperatura no plano
. No ponto
deternine o vetor que possui direçäo e sentido de maior crescimento da temperatura.