Considerando que algumas EDOs podem envolver funções com integrais não elementares, resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que você enviou! A equação que temos é:
Esse problema está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente uma EDO separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a equação é separável, ou seja, podemos escrever tudo que envolve de um lado e tudo que envolve do outro lado. Começamos dividindo ambos os lados por :
Agora, temos e de um lado e e do outro.

Passo 3

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial.
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 4

Começando pela integral do lado esquerdo:
Integrando, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos para a integral do lado direito:
Essa integral é conhecida como uma integral de Fresnel e não possui uma expressão em termos de funções elementares. Podemos representá-la usando a Função de Fresnel S, mas para fins de solução geral, vamos mantê-la na forma integral:
Onde é a função de Fresnel e é outra constante de integração.

Passo 6

Igualando os resultados das integrais dos dois lados, temos:
Podemos simplificar as constantes de integração combinando e em uma única constante :

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor da constante .
Substituindo e na equação:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Isolando :

Passo 8

Finalmente, substituímos o valor de de volta na nossa equação geral:
Podemos rearranjar para expressar em termos de :

Resposta

A solução da EDO com a condição inicial dada é:
Onde representa a função de Fresnel S.

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