Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de valor inicial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos encontrar esse fator para simplificar a equação e integrar.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão:
Onde:
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolamos
para encontrar a solução geral:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
Para esboçar o gráfico dessa solução, notamos que
é definida para
. À medida que
aumenta,
diminui, e
oscila entre -1 e 1, fazendo
oscilar com amplitude decrescente.
Passo 8
Determinar o intervalo onde a solução está definida:
A solução está definida para todo
, já que
não está no domínio da equação original (devido ao termo
e
).
A solução
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Ela está definida para todo
e seu gráfico apresenta oscilações com amplitude decrescente conforme
aumenta.
Exercícios relacionados
Mostre que os limites a seguir não existem:
Verifique que a função
é uma solução e
, com
constante não nula, não é solução para o PVI constituído pela equação diferencial ordinária
e pela condição inicial
.
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(j)
(j)
Admita que
representa uma distribuiçăo de temperatura no plano
. Qual é a taxa de crescimento nesta direçäo?