Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(g) y' + 2/t y = cos(t)/t^2, y(pi) = 0, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de valor inicial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos encontrar esse fator para simplificar a equação e integrar.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão:
Onde:
Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando os termos:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos para encontrar a solução geral:

Passo 6

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

Para esboçar o gráfico dessa solução, notamos que é definida para . À medida que aumenta, diminui, e oscila entre -1 e 1, fazendo oscilar com amplitude decrescente.

Passo 8

Determinar o intervalo onde a solução está definida:
A solução está definida para todo , já que não está no domínio da equação original (devido ao termo e ).

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Ela está definida para todo e seu gráfico apresenta oscilações com amplitude decrescente conforme aumenta.

Exercícios relacionados