Admita que
representa uma distribuiçăo de temperatura no plano
. Determine
, onde
é o versor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função que representa a distribuição de temperatura no plano xy:
O objetivo é encontrar a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e como calcular a derivada direcional utilizando vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
. O vetor
deve ser um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1.
Passo 3
Vamos encontrar o vetor unitário
na direção de
. A fórmula para tornar
unitário é:
Onde
é o módulo (comprimento) de
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente
. Precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando cada uma:
Para
:
Para
:
Passo 5
Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto
:
Primeiro, substituindo
e
em
:
Agora, em
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.