Admita que T(x, y)=2 x y+(x y-x)^2-y^3 representa uma distribuiçăo de temperatura no plano x y. Determine partial Tpartial u(-1,-1), onde u é o versor de v=(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função que representa a distribuição de temperatura no plano xy:
T(x, y) = 2xy + (xy - x)^2 - y^3
O objetivo é encontrar a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e como calcular a derivada direcional utilizando vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função partial Tpartial u = nabla T cdot u na direção de um vetor é dada por:
Aqui, é o gradiente de , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e . O vetor deve ser um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1.

Passo 3

Vamos encontrar o vetor unitário u = v||v|| na direção de ||v|| = raiz0^2 + 2^2 = raiz4 = 2 . A fórmula para tornar u = ( 02, 22 ) = (0, 1) unitário é:
Onde é o módulo (comprimento) de :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente partial Tpartial x = partialpartial x ( 2xy + (xy - x)^2 - y^3 ) . Precisamos das derivadas parciais de partial Tpartial y = partialpartial y ( 2xy + (xy - x)^2 - y^3 ) em relação a partial Tpartial x = 2y + 2(xy - x)(y - 1) - 0 = 2y + 2(xy - x)(y - 1) e partial Tpartial y = 2x + 2(xy - x)(x) - 3y^2 = 2x + 2x(xy - x) - 3y^2 :
Calculando cada uma:
Para :
Para :

Passo 5

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto partial Tpartial x(-1, -1) = 2(-1) + 2[(-1)(-1) - (-1)]((-1) - 1) :
Primeiro, substituindo = -2 + 2[1 + 1](-2) e = -2 + 2(2)(-2) em = -2 - 8 :
= -10
partial Tpartial y(-1, -1) = 2(-1) + 2(-1)[(-1)(-1) - (-1)] - 3(-1)^2
= -2 + 2(-1)(1 + 1) - 3(1)
= -2 + 2(-1)(2) - 3
= -2 - 4 - 3
Agora, em = -9 :
nabla T(-1, -1) = (-10, -9)
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
partial Tpartial u = nabla T cdot u
= (-10, -9) cdot (0, 1)
= (-10 times 0) + (-9 times 1)
= 0 - 9
= -9

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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