Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um problema de valor inicial da equação diferencial
com a condição
. Vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Além disso, vamos esboçar o gráfico da solução e determinar em qual intervalo essa solução está válida.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando, temos:
Isso ocorre porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com
.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Aplicando a condição inicial
:
Sabendo que
,
e
, temos:
Como
, fica:
Passo 8
Substituindo
na solução geral:
Passo 9
Agora, vamos esboçar o gráfico dessa solução. A função envolve
e
, que têm comportamentos periódicos e logarítmicos. O gráfico vai oscilar entre os valores máximos e mínimos de
, mas com amplitudes moduladas pelos termos logarítmicos. Para uma visualização precisa, é recomendado usar uma ferramenta computacional como o Desmos ou GeoGebra.
Passo 10
Por último, vamos determinar o intervalo onde a solução está definida. A função
e, consequentemente,
apresentam descontinuidades nos pontos onde
, ou seja, em
, onde
é inteiro. Portanto, a solução está definida em intervalos onde
, como por exemplo
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa solução apresenta oscilações moduladas pela função logarítmica e está definido no intervalo
. Para visualizar o gráfico com precisão, recomenda-se utilizar uma ferramenta computacional.