Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(j) d y/d x + tg(x) y = 3 ; y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um problema de valor inicial da equação diferencial com a condição . Vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Além disso, vamos esboçar o gráfico da solução e determinar em qual intervalo essa solução está válida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Sabemos que , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando, temos:
Isso ocorre porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com .

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Sabemos que , então:

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Aplicando a condição inicial :
Sabendo que , e , temos:
Como , fica:

Passo 8

Substituindo na solução geral:

Passo 9

Agora, vamos esboçar o gráfico dessa solução. A função envolve e , que têm comportamentos periódicos e logarítmicos. O gráfico vai oscilar entre os valores máximos e mínimos de , mas com amplitudes moduladas pelos termos logarítmicos. Para uma visualização precisa, é recomendado usar uma ferramenta computacional como o Desmos ou GeoGebra.

Passo 10

Por último, vamos determinar o intervalo onde a solução está definida. A função e, consequentemente, apresentam descontinuidades nos pontos onde , ou seja, em , onde é inteiro. Portanto, a solução está definida em intervalos onde , como por exemplo .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa solução apresenta oscilações moduladas pela função logarítmica e está definido no intervalo . Para visualizar o gráfico com precisão, recomenda-se utilizar uma ferramenta computacional.

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