Admita que
representa uma distribuiçăo de temperatura no plano
. No ponto
deternine o vetor que possui direçäo e sentido de maior crescimento da temperatura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o vetor que indica a direção e o sentido de maior crescimento da temperatura na função
no ponto
. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente o conceito de gradiente, que nos dá exatamente essa direção de maior aumento de uma função em várias variáveis. Então, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
:
Vamos derivar cada termo separadamente:
- A derivada de
em relação a é . - Para
, usamos a regra da cadeia: . - A derivada de
em relação a é 0, já que não depende de .
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Aqui, tratamos
como uma constante:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - Para
, novamente usamos a regra da cadeia: . - A derivada de
em relação a é .
Então,
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos calcular o gradiente
no ponto
. O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Primeiro, substituímos
e
em
:
Agora, substituímos
e
em
:
Resposta
O vetor que possui direção e sentido de maior crescimento da temperatura no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Admita que
representa uma distribuiçăo de temperatura no plano
. Determine
, onde
é o versor de
.
Considerando que algumas EDOs podem envolver funções com integrais não elementares, resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(b)
(b)
Utilize a regra da cadeia na resoluçāo dos seguintes itens: Seja
, onde
e
. Determine as derivadas parciais
e
.
Seja
uma funçảo diferenciável definida implicitamente pela equação
. Determine
e
.