Admita que representa uma distribuiçăo de temperatura no plano . No ponto deternine o vetor que possui direçäo e sentido de maior crescimento da temperatura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o vetor que indica a direção e o sentido de maior crescimento da temperatura na função no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente o conceito de gradiente, que nos dá exatamente essa direção de maior aumento de uma função em várias variáveis. Então, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a :
Vamos derivar cada termo separadamente:
  • A derivada de em relação a é .
  • Para , usamos a regra da cadeia: .
  • A derivada de em relação a é 0, já que não depende de .
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Aqui, tratamos como uma constante:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • Para , novamente usamos a regra da cadeia: .
  • A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos calcular o gradiente no ponto . O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Primeiro, substituímos e em :
Agora, substituímos e em :

Resposta

O vetor que possui direção e sentido de maior crescimento da temperatura no ponto é .

Exercícios relacionados

Admita que representa uma distribuiçăo de temperatura no plano . Determine , onde é o versor de .
Considerando que algumas EDOs podem envolver funções com integrais não elementares, resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(b)
Utilize a regra da cadeia na resoluçāo dos seguintes itens: Seja , onde e . Determine as derivadas parciais e .
Seja uma funçảo diferenciável definida implicitamente pela equação . Determine e .