Utilize a regra da cadeia na resoluçāo dos seguintes itens: Seja f(x, y)=2 x^2 y^2+3 x, onde x=r cos theta e y=r sen theta. Determine as derivadas parciais partial fpartial r e partial fpartial theta.

Passo 1

Então, temos a função , onde e . O objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. Vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em funções de várias variáveis e usar as derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(r, theta) = 2(r cos theta)^2 (r sen theta)^2 + 3(r cos theta) em termos de e substituindo e :

Passo 3

Vamos simplificar f(r, theta) = 2 cdot r^2 cos^2 theta cdot r^2 sen^2 theta + 3r cos theta = 2 r^4 cos^2 theta sen^2 theta + 3r cos theta :

Passo 4

Para encontrar partial fpartial r = partialpartial r ( 2 r^4 cos^2 theta sen^2 theta ) + partialpartial r ( 3r cos theta ) , vamos derivar = 8 r^3 cos^2 theta sen^2 theta + 3 cos theta em relação a , tratando como constante:

Passo 5

Agora, para encontrar partial fpartial theta = partialpartial theta ( 2 r^4 cos^2 theta sen^2 theta ) + partialpartial theta ( 3r cos theta ) , vamos derivar = 2 r^4 ( 2 cos theta (-sen theta) sen^2 theta + 2 sen theta cos^2 theta ) + 3r (-sen theta) em relação a = 2 r^4 ( -2 cos theta sen^3 theta + 2 sen theta cos^2 theta ) - 3r sen theta , tratando = 4 r^4 cos theta sen theta (cos theta - sen^2 theta) - 3r sen theta como constante. Usaremos a regra da cadeia para derivar as funções trigonométricas:

Resposta

As derivadas parciais são:

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