Seja
uma funçảo diferenciável definida implicitamente pela equação
. Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma equação envolvendo
,
e
, onde
é uma função diferenciável de
e
. A equação é:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para derivar funções definidas por uma equação onde
está misturado com outras variáveis.
Passo 2
Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então ao derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia.
Differenciando termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (usando a regra do produto). - Derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - Derivada de
em relação a é .
Juntando tudo:
Passo 3
Vamos isolar
na equação que obtivemos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolando
:
Passo 4
Agora vamos diferenciar a equação original em relação a
para encontrar
.
Differenciando termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (já que não depende de ).
Juntando tudo:
Passo 5
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Utilize a regra da cadeia na resoluçāo dos seguintes itens: Seja
, onde
e
. Determine as derivadas parciais
e
.
Admita que
representa uma distribuiçăo de temperatura no plano
. No ponto
deternine o vetor que possui direçäo e sentido de maior crescimento da temperatura.
Considere uma lagoa que contém, inicialmente, 8 milhões de galões de água fresca. Água contendo um produto químico indesejável flui para a lagoa a uma taxa de 3 milhões de gal/ano (galões por ano) e a mistura sai da lagoa à mesma taxa. A concentração
do produto químico na água que entra varia periodicamente com o tempo
de acordo com a expressão
gal (gramas por galão).
(a) Construa um modelo matemático desse processo de fluxo e determine a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante.
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Utilize a regra da cadeia na resoluçāo dos seguintes itens: Calcule
, onde
e
.