Seja z=f(x, y) uma funçảo diferenciável definida implicitamente pela equação 3 x^2 y^2+x^3 ln (x^2+y^2)-z^2=x. Determine partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma equação envolvendo 3x^2 y^2 + x^3 ln(x^2+y^2) - z^2 = x , e , onde é uma função diferenciável de e . A equação é:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para derivar funções definidas por uma equação onde está misturado com outras variáveis.

Passo 2

Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a 6x y^2 + 3x^2 ln(x^2+y^2) + 2x^4x^2+y^2 - 2z cdot partial zpartial x = 1 . Lembre-se que é uma função de e , então ao derivar em relação a , usamos a regra da cadeia.
Differenciando termo a termo:
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a é (usando a regra do produto).
  3. Derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  4. Derivada de em relação a é .
Juntando tudo:

Passo 3

Vamos isolar -2z cdot partial zpartial x = 1 - 6x y^2 - 3x^2 ln(x^2+y^2) - 2x^4x^2+y^2 na equação que obtivemos:
2z cdot partial zpartial x = -1 + 6x y^2 + 3x^2 ln(x^2+y^2) + 2x^4x^2+y^2
Multiplicando ambos os lados por partial zpartial x = -1 + 6x y^2 + 3x^2 ln(x^2+y^2) + 2x^4x^2+y^22z :
Agora, isolando :

Passo 4

Agora vamos diferenciar a equação original em relação a 6x^2 y + 2x^3 yx^2+y^2 - 2z cdot partial zpartial y = 0 para encontrar .
Differenciando termo a termo:
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a é .
  3. Derivada de em relação a é .
  4. Derivada de em relação a é (já que não depende de ).
Juntando tudo:

Passo 5

Vamos isolar -2z cdot partial zpartial y = -6x^2 y - 2x^3 yx^2+y^2 :
2z cdot partial zpartial y = 6x^2 y + 2x^3 yx^2+y^2
Multiplicando ambos os lados por partial zpartial y = 6x^2 y + 2x^3 yx^2+y^22z :
Agora, isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -1 + 6x y^2 + 3x^2 ln(x^2+y^2) + dfrac2x^4x^2+y^22z
e
partial zpartial y = 6x^2 y + dfrac2x^3 yx^2+y^22z

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