Seja
uma funçảo diferenciável definida implicitamente pela equação
. Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma equação envolvendo
,
e
, onde
é uma função diferenciável de
e
. A equação é:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para derivar funções definidas por uma equação onde
está misturado com outras variáveis.
Passo 2
Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então ao derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia.
Differenciando termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (usando a regra do produto). - Derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - Derivada de
em relação a é .
Juntando tudo:
Passo 3
Vamos isolar
na equação que obtivemos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolando
:
Passo 4
Agora vamos diferenciar a equação original em relação a
para encontrar
.
Differenciando termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (já que não depende de ).
Juntando tudo:
Passo 5
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e