Seja uma funçảo diferenciável definida implicitamente pela equação . Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma equação envolvendo , e , onde é uma função diferenciável de e . A equação é:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para derivar funções definidas por uma equação onde está misturado com outras variáveis.

Passo 2

Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de e , então ao derivar em relação a , usamos a regra da cadeia.
Differenciando termo a termo:
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a é (usando a regra do produto).
  3. Derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  4. Derivada de em relação a é .
Juntando tudo:

Passo 3

Vamos isolar na equação que obtivemos:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, isolando :

Passo 4

Agora vamos diferenciar a equação original em relação a para encontrar .
Differenciando termo a termo:
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a é .
  3. Derivada de em relação a é .
  4. Derivada de em relação a é (já que não depende de ).
Juntando tudo:

Passo 5

Vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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