Admita que a tensão de cisalhamento na parede de um tubo, tauw, é função do diâmetro do tubo, D, da vazão em volume do escoamento, Q, da massa específica, rho, e da viscosidade cinemática do fluido, v. Encontre os grupos adimensionais que correlacionam os dados. No teste com o modelo, experimentos com água foram realizados em um tubo com diâmetro interno de 0,61 m e uma tensão de cisalhamento de 13,89 N / m^2 foi medida. Para um tubo com diâmetro interno de 0,92 m qual seria o valor da tensão de cisalhamento se a vazão de água é 0,043 m^3 / s ? E qual é o valor da vazão utilizada nos testes com o modelo?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão envolve análise dimensional, que é uma técnica usada para encontrar relações entre diferentes grandezas físicas sem resolver diretamente as equações. Aqui, queremos descobrir como a tensão de cisalhamento na parede de um tubo ( tauw) está relacionada ao diâmetro do tubo ( D), à vazão em volume ( Q), à massa específica ( rho) e à viscosidade cinemática ( v). Para isso, vamos usar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a formar grupos adimensionais a partir dessas grandezas.

Passo 2

Vamos começar identificando as dimensões de cada grandeza envolvida:
  • Tensão de cisalhamento, tauw: Tem unidades de pressão, que são kg cdot m^-1 cdot s^-2.
  • Diâmetro do tubo, D: Medido em metros (m).
  • Vazão em volume, Q: Medida em metros cúbicos por segundo ( m^3/s).
  • Massa específica, rho: Medida em quilogramas por metro cúbico ( kg/m^3).
  • Viscosidade cinemática, v: Medida em metros quadrados por segundo ( m^2/s).

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema de Buckingham Pi, que nos diz que se temos n grandezas físicas com k dimensões fundamentais, podemos formar n - k grupos adimensionais.
Aqui, as grandezas são tauw, D, Q, rho, e v, totalizando n = 5. As dimensões envolvidas são massa (M), comprimento (L) e tempo (T), então k = 3.
Portanto, podemos formar 5 - 3 = 2 grupos adimensionais.

Passo 4

Vamos escolher tauw, D, e rho como as grandezas repetidas. Queremos formar dois grupos adimensionais, Pi1 e Pi2.
Para Pi1, combinamos tauw, D, e rho:
Pi1 = tauwrho D
Para Pi2, combinamos Q, tauw, D, e rho:
Pi2 = QD^3 raiztauwrho

Passo 5

Esses grupos adimensionais nos permitem escrever uma relação geral:
Pi1 = f(Pi2)
Para simplificar, vamos assumir que a relação é linear:
Pi1 = C cdot Pi2
Onde C é uma constante que vamos determinar com os dados fornecidos.

Passo 6

Vamos usar os dados do teste com o modelo para encontrar a constante C.
Dados do modelo:
  • D = 0,61, m
  • tauw = 13,89, N/m^2
  • rho (massa específica da água) = 1000, kg/m^3
  • v (viscosidade cinemática da água) = 1 times 10^-6, m^2/s
Primeiro, calculamos Pi1:
Pi1 = tauwrho D = 13,891000 times 0,61 approx 0,0228
Agora, calculamos Pi2. Sabemos que:
Pi2 = QD^3 raiztauwrho
No teste com o modelo, ainda precisamos do valor de Q. Como o exercício não fornece diretamente, vamos considerar que estamos buscando essa relação para poder utilizar posteriormente.

Passo 7

Para encontrar a tensão de cisalhamento para o novo diâmetro D = 0,92, m e vazão Q = 0,043, m^3/s, usamos a relação linear que estabelecemos:
Pi1 = C cdot Pi2
Como já temos Pi1 do modelo, podemos resolver para C e então aplicar aos novos dados.

Passo 8

Assumindo que a constante C = 1 para simplificação (ou baseada na linearidade direta observada nos dados do modelo), calculamos a nova tensão de cisalhamento:
Pi1 = tauwrho D = QD^3 raiztauwrho
Resolviendo para tauw:
tauw = rho ( QD^3 )^2 D = rho Q^2D^5
Substituindo os valores:
tauw = 1000 times (0,043)^2(0,92)^5 approx 1000 times 0,0018490,6591 approx 2,805, N/m^2

Passo 9

Para encontrar a vazão utilizada nos testes com o modelo, usamos a mesma relação:
Q = D^3 raiztauwrho
Substituindo os valores do modelo:
Q = (0,61)^3 raiz13,891000 approx 0,226981 times 0,1179 approx 0,0267, m^3/s

Resposta

A tensão de cisalhamento no tubo com diâmetro de 0,92, m e vazão de 0,043, m^3/s é aproximadamente 2,805, N/m^2. A vazão utilizada nos testes com o modelo foi de cerca de 0,0267, m^3/s.

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