Admita que a tensão de cisalhamento na parede de um tubo, , é função do diâmetro do tubo, , da vazão em volume do escoamento, , da massa específica, , e da viscosidade cinemática do fluido, . Encontre os grupos adimensionais que correlacionam os dados. No teste com o modelo, experimentos com água foram realizados em um tubo com diâmetro interno de e uma tensão de cisalhamento de foi medida. Para um tubo com diâmetro interno de qual seria o valor da tensão de cisalhamento se a vazão de água é ? E qual é o valor da vazão utilizada nos testes com o modelo?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão envolve análise dimensional, que é uma técnica usada para encontrar relações entre diferentes grandezas físicas sem resolver diretamente as equações. Aqui, queremos descobrir como a tensão de cisalhamento na parede de um tubo ( ) está relacionada ao diâmetro do tubo ( ), à vazão em volume ( ), à massa específica ( ) e à viscosidade cinemática ( ). Para isso, vamos usar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a formar grupos adimensionais a partir dessas grandezas.

Passo 2

Vamos começar identificando as dimensões de cada grandeza envolvida:
  • Tensão de cisalhamento, : Tem unidades de pressão, que são .
  • Diâmetro do tubo, : Medido em metros (m).
  • Vazão em volume, : Medida em metros cúbicos por segundo ( ).
  • Massa específica, : Medida em quilogramas por metro cúbico ( ).
  • Viscosidade cinemática, : Medida em metros quadrados por segundo ( ).

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema de Buckingham Pi, que nos diz que se temos grandezas físicas com dimensões fundamentais, podemos formar grupos adimensionais.
Aqui, as grandezas são , , , , e , totalizando . As dimensões envolvidas são massa (M), comprimento (L) e tempo (T), então .
Portanto, podemos formar grupos adimensionais.

Passo 4

Vamos escolher , , e como as grandezas repetidas. Queremos formar dois grupos adimensionais, e .
Para , combinamos , , e :
Para , combinamos , , , e :

Passo 5

Esses grupos adimensionais nos permitem escrever uma relação geral:
Para simplificar, vamos assumir que a relação é linear:
Onde é uma constante que vamos determinar com os dados fornecidos.

Passo 6

Vamos usar os dados do teste com o modelo para encontrar a constante .
Dados do modelo:
  • (massa específica da água) =
  • (viscosidade cinemática da água) =
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos . Sabemos que:
No teste com o modelo, ainda precisamos do valor de . Como o exercício não fornece diretamente, vamos considerar que estamos buscando essa relação para poder utilizar posteriormente.

Passo 7

Para encontrar a tensão de cisalhamento para o novo diâmetro e vazão , usamos a relação linear que estabelecemos:
Como já temos do modelo, podemos resolver para e então aplicar aos novos dados.

Passo 8

Assumindo que a constante para simplificação (ou baseada na linearidade direta observada nos dados do modelo), calculamos a nova tensão de cisalhamento:
Resolviendo para :
Substituindo os valores:

Passo 9

Para encontrar a vazão utilizada nos testes com o modelo, usamos a mesma relação:
Substituindo os valores do modelo:

Resposta

A tensão de cisalhamento no tubo com diâmetro de e vazão de é aproximadamente . A vazão utilizada nos testes com o modelo foi de cerca de .

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