Admita que a tensão de cisalhamento na parede de um tubo,
, é função do diâmetro do tubo,
, da vazão em volume do escoamento,
, da massa específica,
, e da viscosidade cinemática do fluido,
. Encontre os grupos adimensionais que correlacionam os dados. No teste com o modelo, experimentos com água foram realizados em um tubo com diâmetro interno de
e uma tensão de cisalhamento de
foi medida. Para um tubo com diâmetro interno de
qual seria o valor da tensão de cisalhamento se a vazão de água é
? E qual é o valor da vazão utilizada nos testes com o modelo?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão envolve análise dimensional, que é uma técnica usada para encontrar relações entre diferentes grandezas físicas sem resolver diretamente as equações. Aqui, queremos descobrir como a tensão de cisalhamento na parede de um tubo (
) está relacionada ao diâmetro do tubo (
), à vazão em volume (
), à massa específica (
) e à viscosidade cinemática (
). Para isso, vamos usar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a formar grupos adimensionais a partir dessas grandezas.
Passo 2
Vamos começar identificando as dimensões de cada grandeza envolvida:
- Tensão de cisalhamento,
: Tem unidades de pressão, que são . - Diâmetro do tubo,
: Medido em metros (m). - Vazão em volume,
: Medida em metros cúbicos por segundo ( ). - Massa específica,
: Medida em quilogramas por metro cúbico ( ). - Viscosidade cinemática,
: Medida em metros quadrados por segundo ( ).
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema de Buckingham Pi, que nos diz que se temos
grandezas físicas com
dimensões fundamentais, podemos formar
grupos adimensionais.
Aqui, as grandezas são
,
,
,
, e
, totalizando
. As dimensões envolvidas são massa (M), comprimento (L) e tempo (T), então
.
Portanto, podemos formar
grupos adimensionais.
Passo 4
Vamos escolher
,
, e
como as grandezas repetidas. Queremos formar dois grupos adimensionais,
e
.
Para
, combinamos
,
, e
:
Para
, combinamos
,
,
, e
:
Passo 5
Esses grupos adimensionais nos permitem escrever uma relação geral:
Para simplificar, vamos assumir que a relação é linear:
Onde
é uma constante que vamos determinar com os dados fornecidos.
Passo 6
Vamos usar os dados do teste com o modelo para encontrar a constante
.
Dados do modelo:
-
-
-
(massa específica da água) = -
(viscosidade cinemática da água) =
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
. Sabemos que:
No teste com o modelo, ainda precisamos do valor de
. Como o exercício não fornece diretamente, vamos considerar que estamos buscando essa relação para poder utilizar posteriormente.
Passo 7
Para encontrar a tensão de cisalhamento para o novo diâmetro
e vazão
, usamos a relação linear que estabelecemos:
Como já temos
do modelo, podemos resolver para
e então aplicar aos novos dados.
Passo 8
Assumindo que a constante
para simplificação (ou baseada na linearidade direta observada nos dados do modelo), calculamos a nova tensão de cisalhamento:
Resolviendo para
:
Substituindo os valores:
Passo 9
Para encontrar a vazão utilizada nos testes com o modelo, usamos a mesma relação:
Substituindo os valores do modelo:
Resposta
A tensão de cisalhamento no tubo com diâmetro de
e vazão de
é aproximadamente
. A vazão utilizada nos testes com o modelo foi de cerca de
.
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