Admitindo as operações possíveis e considerando constante, prove as seguintes regras de derivação para o operador Gradiente:
(a) Linear: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para provar que o operador Gradiente é linear. Isso significa mostrar que, se você tem uma constante e duas funções e , então:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o operador Gradiente e como ele se comporta com combinações lineares de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o operador Gradiente. O Gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Matemáticamente, ele é definido como:
Ou seja, é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Gradiente à combinação :

Passo 4

Vamos calcular cada componente separadamente. Lembrando que é uma constante, a derivada de é , e a derivada de é , por exemplo. Assim:

Passo 5

Juntando tudo, temos que:

Passo 6

Agora, vamos observar que isso é igual a:

Resposta

Portanto, provamos que:
Isso mostra que o operador Gradiente é linear, já que ele preserva a soma e a multiplicação por constantes.

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir:
(q)
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(2,0 pontos) Pelo método da série de potências, encontre a solução da EDO
Determine o domínio de e as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de .
(d)