Admitindo as operações possíveis e considerando
constante, prove as seguintes regras de derivação para o operador Gradiente:
(a) Linear:
.
(a) Linear:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para provar que o operador Gradiente é linear. Isso significa mostrar que, se você tem uma constante
e duas funções
e
, então:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o operador Gradiente e como ele se comporta com combinações lineares de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o operador Gradiente. O Gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Matemáticamente, ele é definido como:
Ou seja, é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Gradiente à combinação
:
Passo 4
Vamos calcular cada componente separadamente. Lembrando que
é uma constante, a derivada de
é
, e a derivada de
é
, por exemplo. Assim:
Passo 5
Juntando tudo, temos que:
Passo 6
Agora, vamos observar que isso é igual a:
Resposta
Portanto, provamos que:
Isso mostra que o operador Gradiente é linear, já que ele preserva a soma e a multiplicação por constantes.
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(q)
(q)
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(2,0 pontos) Pelo método da série de potências, encontre a solução da EDO
Determine o domínio de
e as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de
.
(d)
(d)