(2,0 pontos) Pelo método da série de potências, encontre a solução da EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método da série de potências. Isso significa que vamos supor que a solução pode ser escrita como uma soma infinita de termos com potências de . Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas da série e substituir tudo na equação para encontrar os coeficientes dos termos.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas da série:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 5

Vamos alinhar os índices para que todas as somas comecem com :
Simplificando, temos:

Passo 6

Para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá a relação de recorrência:
Resolvendo para :

Passo 7

Precisamos determinar os coeficientes . Geralmente, são dados dois valores iniciais, e . Suponhamos que e , onde e são constantes arbitrárias.

Passo 8

Usando a relação de recorrência, calculamos alguns coeficientes:
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é uma série de potências dada por:
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Admitindo as operações possíveis e considerando constante, prove as seguintes regras de derivação para o operador Gradiente:
(a) Linear: .
Calcule os limites a seguir:
(q)
Determine o domínio de e as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de .
(d)
Um tanque cilíndrico metálico com tampa tem altura de 1.2 m e raio 80 cm em suas dimensões internas. Se a espessura das paredes é de 5 mm , calcular a quantidade aproximada de metal usado na fabricação do tanque.