Determine o domínio de e as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de .
(d)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o domínio da função e também determinar as assíntotas verticais e horizontais do seu gráfico. Para isso, vamos precisar saber como identificar valores que a função pode ou não aceitar e entender o que são assíntotas.

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida.
  • Denominador: O denominador da nossa função é . Para evitar divisão por zero, , ou seja, .
  • Radiciação: Dentro da raiz quadrada, temos . Como estamos lidando com uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero, ou seja, .
Vamos analisar essa última parte:
Como é sempre positivo ou zero para qualquer , somando 1 ele sempre será maior que zero. Portanto, não há restrições adicionais além de .

Passo 3

Agora que sabemos que o domínio é todos os números reais exceto , vamos para as assíntotas verticais.
As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero nesses pontos.
Sabemos que o denominador quando . Vamos verificar o numerador nessa condição:
Como o numerador não é zero quando , existe uma assíntota vertical em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo.
Observamos que:
  • O numerador se comporta como quando tende ao infinito.
  • O denominador é , que se comporta como quando tende ao infinito.
Portanto, a função se comporta como:
Para tendendo a :
Para tendendo a :
Isso significa que temos duas assíntotas horizontais: uma em e outra em .

Resposta

O domínio de é todos os números reais exceto . Há uma assíntota vertical em e duas assíntotas horizontais em e .

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(a)