Determine o domínio de
e as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de
.
(d)
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o domínio da função
e também determinar as assíntotas verticais e horizontais do seu gráfico. Para isso, vamos precisar saber como identificar valores que a função pode ou não aceitar e entender o que são assíntotas.
Passo 2
Vamos começar encontrando o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida.
-
Denominador: O denominador da nossa função é
. Para evitar divisão por zero, , ou seja, . -
Radiciação: Dentro da raiz quadrada, temos
. Como estamos lidando com uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero, ou seja, .
Vamos analisar essa última parte:
Como
é sempre positivo ou zero para qualquer
, somando 1 ele sempre será maior que zero. Portanto, não há restrições adicionais além de
.
Passo 3
Agora que sabemos que o domínio é todos os números reais exceto
, vamos para as assíntotas verticais.
As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero nesses pontos.
Sabemos que o denominador
quando
. Vamos verificar o numerador nessa condição:
Como o numerador não é zero quando
, existe uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo.
Observamos que:
- O numerador
se comporta como quando tende ao infinito. - O denominador é
, que se comporta como quando tende ao infinito.
Portanto, a função se comporta como:
Para
tendendo a
:
Para
tendendo a
:
Isso significa que temos duas assíntotas horizontais: uma em
e outra em
.
Resposta
O domínio de
é todos os números reais exceto
. Há uma assíntota vertical em
e duas assíntotas horizontais em
e
.
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(a)
(a)