Adotando que o Laplaciano de uma função em coordenadas polares é dado por:
Resolva o seguinte Problema de Contorno:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de contorno envolvendo a equação de Laplace em coordenadas polares. A gente tem uma região anular onde e . As condições de contorno são que é zero quando , e também nas bordas de e . Além disso, quando , . Para resolver isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis e um pouco de teoria de séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de Laplace em coordenadas polares é dada por:
Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação e as condições de contorno mencionadas.
Passo 3
Vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Isso é a técnica de separação de variáveis, onde assumimos que a solução pode ser dividida dessa forma.
Passo 4
Substituindo na equa�o de Laplace, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Podemos reorganizar isso como:
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 5
Agora temos duas equações separadas:
Para :
Para :
A equação para é uma equação diferencial ordinária que descreve ondas ou vibrações, e suas soluções dependem do valor de .
Passo 6
Como as condições de contorno para são , queremos que . As soluções dessa equação são funções senoidais, e deve ser tal que satisfaça essas condições. Isso nos leva a , onde é um número inteiro positivo.
Então, a solução para será:
onde é um inteiro positivo.
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para com :
Essa é a equação de Euler-Cauchy, e suas soluções gerais são:
onde e são constantes que vamos determinar a partir das condições de contorno.
Passo 8
A solução geral para é uma série que combina todas as soluções possíveis:
Agora, aplicamos a condição de contorno . Isso significa que, para :
Comparando os termos, vemos que apenas para temos a contribuição, e para outros , os coeficientes devem ser zero. Portanto: