Adotando que o Laplaciano de uma função em coordenadas polares é dado por:
Resolva o seguinte Problema de Contorno:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de contorno envolvendo a equação de Laplace em coordenadas polares. A gente tem uma região anular onde e . As condições de contorno são que é zero quando , e também nas bordas de e . Além disso, quando , . Para resolver isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis e um pouco de teoria de séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de Laplace em coordenadas polares é dada por:
Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação e as condições de contorno mencionadas.

Passo 3

Vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Isso é a técnica de separação de variáveis, onde assumimos que a solução pode ser dividida dessa forma.

Passo 4

Substituindo na equa�o de Laplace, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Podemos reorganizar isso como:
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 5

Agora temos duas equações separadas:
  1. Para :
  1. Para :
A equação para é uma equação diferencial ordinária que descreve ondas ou vibrações, e suas soluções dependem do valor de .

Passo 6

Como as condições de contorno para são , queremos que . As soluções dessa equação são funções senoidais, e deve ser tal que satisfaça essas condições. Isso nos leva a , onde é um número inteiro positivo.
Então, a solução para será:
onde é um inteiro positivo.

Passo 7

Agora, resolvemos a equação para com :
Essa é a equação de Euler-Cauchy, e suas soluções gerais são:
onde e são constantes que vamos determinar a partir das condições de contorno.

Passo 8

A solução geral para é uma série que combina todas as soluções possíveis:
Agora, aplicamos a condição de contorno . Isso significa que, para :
Comparando os termos, vemos que apenas para temos a contribuição, e para outros , os coeficientes devem ser zero. Portanto:
E para :
Vamos resolver para e :
Além disso, aplicamos a condição :
Substituindo na equação anterior:
Então, .

Resposta

A solução do problema de contorno é:

Exercícios relacionados

Prove os itens abaixo. © Se é a esfera parametrizada por , mostre que . Mostre também que .
Determine uma solução do tipo para o Problema de Contorno
Resolva os seguintes Problemas de Contorno
Prove as seguintes unicidades: Se para algum , então, .