Adotando que o Laplaciano de uma função em coordenadas polares é dado por:
Resolva o seguinte Problema de Contorno:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de contorno envolvendo a equação de Laplace em coordenadas polares. A gente tem uma região anular onde e . As condições de contorno são que é zero quando , e também nas bordas de e . Além disso, quando , . Para resolver isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis e um pouco de teoria de séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de Laplace em coordenadas polares é dada por:
De
Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação e as condições de contorno mencionadas.
Passo 3
Vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de u(r, theta) = R(r) Theta(theta) e outra que depende apenas de :
Isso é a técnica de separação de variáveis, onde assumimos que a solução pode ser dividida dessa forma.
Passo 4
Substituindo R'' Theta + 1r R' Theta + 1r^2 R Theta'' = 0 na equa�o de Laplace, temos:
R''R + 1r R'R + 1r^2 Theta''Theta = 0
Dividindo ambos os lados por r^2 R''R + r R'R = -Theta''Theta = lambda :
Podemos reorganizar isso como:
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 5
Agora temos duas equações separadas:
Para Theta'' + lambda Theta = 0 :
r^2 R'' + r R' - lambda R = 0
Para :
A equação para é uma equação diferencial ordinária que descreve ondas ou vibrações, e suas soluções dependem do valor de .
Passo 6
Como as condições de contorno para Thetan(theta) = sin(ntheta) são , queremos que . As soluções dessa equação são funções senoidais, e deve ser tal que satisfaça essas condições. Isso nos leva a , onde é um número inteiro positivo.
Então, a solução para será:
onde é um inteiro positivo.
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para r^2 R'' + r R' - n^2 R = 0 com Rn(r) = An r^n + Bn r^-n :
Essa é a equação de Euler-Cauchy, e suas soluções gerais são:
onde e são constantes que vamos determinar a partir das condições de contorno.
Passo 8
A solução geral para u(r, theta) = sumn=1^infty (An r^n + Bn r^-n) sin(ntheta) é uma série que combina todas as soluções possíveis:
Agora, aplicamos a condição de contorno A2 3^2 + B2 3^-2 = 1 . Isso significa que, para An = Bn = 0 :
9A2 + 19B2 = 1
Comparando os termos, vemos que apenas para A2 1^2 + B2 1^-2 = 0 implies A2 + B2 = 0 implies B2 = -A2 temos a contribuição, e para outros 9A2 - 19A2 = 1 implies 809A2 = 1 implies A2 = 980 , os coeficientes devem ser zero. Portanto: