Prove os itens abaixo. © Se
é a esfera parametrizada por
, mostre que
. Mostre também que
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que envolve a parametrização de uma esfera. O enunciado nos pede para mostrar que o vetor
dado está correto e calcular a sua norma. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies, derivadas parciais e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da esfera. A esfera está parametrizada por:
Aqui,
é o raio da esfera,
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
Passo 3
Para encontrar o vetor normal
à superfície, precisamos calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a
e
, que vamos chamar de
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
O vetor normal
pode ser encontrado fazendo o produto vetorial das derivadas parciais:
Vamos calcular esse produto vetorial passo a passo.
Passo 5
Calculando o produto vetorial
:
Expandindo o determinante:
Isso confirma que:
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma de
, que é representada por
. A norma de um vetor
é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor
:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Como , temos:
Resposta
e