Prove os itens abaixo. © Se S é a esfera parametrizada por varphi(phi, theta)=(a sen phi cos theta, a sen phi sen theta, a cos phi), mostre que N=(a^2 sen^2 phi cos theta, a^2 sen^2 phi sen theta, a^2 sen phi cos phi). Mostre também que |N|=a^2 sen phi.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que envolve a parametrização de uma esfera. O enunciado nos pede para mostrar que o vetor N dado está correto e calcular a sua norma. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies, derivadas parciais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da esfera. A esfera está parametrizada por:
Aqui, varphi(phi, theta) = (a cdot sen phi cdot cos theta, , a cdot sen phi cdot sen theta, , a cdot cos phi) é o raio da esfera, a é o ângulo polar e phi é o ângulo azimutal.

Passo 3

Para encontrar o vetor normal N à superfície, precisamos calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a phi e theta, que vamos chamar de varphiphi e varphitheta.
Calculando varphiphi:
Calculando varphiphi = (a cdot cos phi cdot cos theta, , a cdot cos phi cdot sen theta, , -a cdot sen phi) :

Passo 4

O vetor normal N pode ser encontrado fazendo o produto vetorial das derivadas parciais:
N = varphiphi times varphitheta
Vamos calcular esse produto vetorial passo a passo.

Passo 5

Calculando o produto vetorial varphiphi times varphitheta:
Expandindo o determinante:
Isso confirma que:

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma de N, que é representada por |N|. A norma de um vetor (x, y, z) é dada por:
|N| = raizx^2 + y^2 + z^2
Aplicando isso ao nosso vetor N:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Como , temos:

Resposta

e

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