Prove os itens abaixo. © Se é a esfera parametrizada por , mostre que . Mostre também que .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que envolve a parametrização de uma esfera. O enunciado nos pede para mostrar que o vetor dado está correto e calcular a sua norma. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies, derivadas parciais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da esfera. A esfera está parametrizada por:
Aqui, é o raio da esfera, é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 3

Para encontrar o vetor normal à superfície, precisamos calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a e , que vamos chamar de e .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

O vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial das derivadas parciais:
Vamos calcular esse produto vetorial passo a passo.

Passo 5

Calculando o produto vetorial :
Expandindo o determinante:
Isso confirma que:

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma de , que é representada por . A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor :

Passo 7

Simplificando a expressão:
Como , temos:

Resposta

e

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