Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que envolve a parametrização de uma esfera. O enunciado nos pede para mostrar que o vetor dado está correto e calcular a sua norma. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies, derivadas parciais e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da esfera. A esfera está parametrizada por:
Aqui, é o raio da esfera, é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.
Passo 3
Para encontrar o vetor normal à superfície, precisamos calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a e , que vamos chamar de e .
Calculando :
Calculando :
Passo 4
O vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial das derivadas parciais:
Vamos calcular esse produto vetorial passo a passo.
Passo 5
Calculando o produto vetorial :
Expandindo o determinante:
Isso confirma que:
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma de , que é representada por . A norma de um vetor é dada por: