Num aeroporto, deseja-se construir uma torre de observação de
de altura. Por questões de segurança, neste aeroporto não é permitido que os aviões passem a menos do que 5 m do topo de qualquer construção. Sabendo que, neste aeroporto, os aviões decolam e aterrissam formando sempre um ângulo de 10 com o chão, qual deverá ser a distância mínima desta torre em relação a pista de pouso e aterrissagem (use sen
)? Esboce graficamente tal situação.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir qual é a distância mínima que uma torre de observação de 8 metros deve ficar da pista de pouso e decolagem de um aeroporto. Isso para garantir, por segurança, que os aviões que se aproximam ou se afastam em um ângulo de 10 graus do chão não passem a menos de 5 metros acima do topo da torre. Para resolver isso, vamos usar trigonometria, mais especificamente a função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine a torre de 8 metros de altura sendo um ponto fixo na pista. Os aviões se aproximam e se afastam formando um ângulo de 10° com o chão. Queremos que, no ponto mais próximo, a distância vertical entre o avião e o topo da torre seja de pelo menos 5 metros.
Passo 3
Vamos calcular a altura total que o avião precisa ter em relação ao chão para manter esses 5 metros de segurança acima da torre. Como a torre tem 8 metros e precisamos de mais 5 metros de segurança, a altura total será:
Passo 4
Agora, usando a trigonometria, vamos relacionar o ângulo de 10° com a altura total que calculamos. A função seno relaciona o ângulo com a razão entre a altura oposta e a hipotenusa em um triângulo retângulo. Porém, neste caso, estamos interessados na distância horizontal (adjacente), que podemos encontrar usando a função tangente. Entretanto, dado que a questão nos fornece o seno, vamos adaptar nosso cálculo.
Sabemos que:
Aqui, a “oposto” é a altura total que o avião deve ter (13 metros), e a “hipotenusa” será a distância que o avião percorre na diagonal em relação à torre. Mas queremos encontrar a distância horizontal, que vamos chamar de d.
Para isso, podemos usar a relação:
Sabendo que:
Passo 5
Agora, podemos usar a relação da tangente para encontrar a distância horizontal d:
Sabendo que:
Então:
Resposta
A distância mínima que a torre de 8 metros deve ficar da pista de pouso e decolagem é de aproximadamente 73,7 metros.
Observação
Para esboçar graficamente, imagine um triângulo retângulo onde:
- A altura total (13 metros) é o lado oposto ao ângulo de 10°.
- A distância horizontal (73,7 metros) é o lado adjacente.
- A linha inclinada representa o caminho do avião formando o ângulo de 10° com o chão.
Isso garante que a segurança de 5 metros acima da torre seja mantida.