Um triângulo retângulo
, retângulo em
, tem um cateto medindo 45 cm e a hipotenusa medindo 75 cm . Determine a medida do outro cateto deste triângulo retângulo e represente-o graficamente, indicando suas respectivas medidas. Determine também o valor do seno e do cosseno dos ângulos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo retângulo
, com o ângulo reto em
. Sabemos que um dos catetos mede 45 cm e a hipotenusa mede 75 cm. Nosso objetivo aqui é:
- Encontrar a medida do outro cateto.
- Representar o triângulo graficamente com as medidas indicadas.
- Calcular o seno e o cosseno dos ângulos
e .
Para isso, vamos usar o teorema de Pitágoras e as definições de seno e cosseno na trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Pitágoras, que diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados (os catetos). Matematicamente, isso é expresso por:
Onde:
-
e são os catetos. -
é a hipotenusa.
No nosso caso, sabemos que
cm e
cm. Queremos encontrar
.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula do Teorema de Pitágoras:
Calculando os quadrados:
Agora, isolamos
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de 3600:
Passo 4
Agora que temos as medidas dos dois catetos (
cm e
cm) e da hipotenusa (
cm), podemos representar o triângulo graficamente:
C
|\
| \
60 cm | \ 75 cm
| \
|____\
A 45 cm B
Aqui, o lado
mede 45 cm,
mede 60 cm e
(hipotenusa) mede 75 cm.
Passo 5
Agora, vamos calcular o seno e o cosseno dos ângulos
e
.
Primeiro, lembrando das definições:
- Seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
- Cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
Vamos calcular para o ângulo
:
- Cateto oposto a
: 60 cm - Cateto adjacente a
: 45 cm - Hipotenusa: 75 cm
Então,
Agora, para o ângulo
:
- Cateto oposto a
: 45 cm - Cateto adjacente a
: 60 cm - Hipotenusa: 75 cm
Então,
Resposta
O outro cateto mede 60 cm. O triângulo está representado com as medidas indicadas. Os valores dos senos e cossenos dos ângulos são:
-
e -
e