Um triângulo retângulo A B C, retângulo em A, tem um cateto medindo 45 cm e a hipotenusa medindo 75 cm . Determine a medida do outro cateto deste triângulo retângulo e represente-o graficamente, indicando suas respectivas medidas. Determine também o valor do seno e do cosseno dos ângulos B e C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo retângulo , com o ângulo reto em . Sabemos que um dos catetos mede 45 cm e a hipotenusa mede 75 cm. Nosso objetivo aqui é:
  1. Encontrar a medida do outro cateto.
  2. Representar o triângulo graficamente com as medidas indicadas.
  3. Calcular o seno e o cosseno dos ângulos e .
Para isso, vamos usar o teorema de Pitágoras e as definições de seno e cosseno na trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Pitágoras, que diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados (os catetos). Matematicamente, isso é expresso por:
a^2 + b^2 = c^2
Onde:
  • e são os catetos.
  • é a hipotenusa.
No nosso caso, sabemos que cm e cm. Queremos encontrar .

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula do Teorema de Pitágoras:
45^2 + b^2 = 75^2
Calculando os quadrados:
2025 + b^2 = 5625
Agora, isolamos b^2 = 5625 - 2025 :
b^2 = 3600
b = raiz3600 = 60 cm
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de 3600:

Passo 4

Agora que temos as medidas dos dois catetos ( cm e cm) e da hipotenusa ( cm), podemos representar o triângulo graficamente:
       C
       |\
       | \
   60 cm |  \ 75 cm
       |   \
       |____\
       A   45 cm  B
Aqui, o lado mede 45 cm, mede 60 cm e (hipotenusa) mede 75 cm.

Passo 5

Agora, vamos calcular o seno e o cosseno dos ângulos sin(B) = Cateto opostoHipotenusa = 6075 = 45 = 0,8 e cos(B) = Cateto adjacenteHipotenusa = 4575 = 35 = 0,6 .
Primeiro, lembrando das definições:
  • Seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
  • Cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
Vamos calcular para o ângulo sin(C) = Cateto opostoHipotenusa = 4575 = 35 = 0,6 :
  • Cateto oposto a cos(C) = Cateto adjacenteHipotenusa = 6075 = 45 = 0,8 : 60 cm
  • Cateto adjacente a : 45 cm
  • Hipotenusa: 75 cm
Então,
Agora, para o ângulo :
  • Cateto oposto a : 45 cm
  • Cateto adjacente a : 60 cm
  • Hipotenusa: 75 cm
Então,

Resposta

O outro cateto mede 60 cm. O triângulo está representado com as medidas indicadas. Os valores dos senos e cossenos dos ângulos são:
  • e
  • e

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