Um triângulo
, retângulo em
, tem a hipotenusa medindo 12 cm e sabe-se que
. Determine a medida dos catetos deste triângulo e represente-o graficamente, indicando suas respectivas medidas. Determine também o valor do seno e do cosseno dos ângulos
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. Temos um triângulo
retângulo em
, ou seja, o ângulo
é de 90 graus. A hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto, mede 12 cm. Sabemos também que
. Nosso objetivo é encontrar as medidas dos catetos
e
, desenhar o triângulo com essas medidas e calcular os valores do seno e do cosseno dos ângulos
e
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de trigonometria relacionados aos triângulos retângulos, como definição de seno e cosseno e o teorema de Pitágoras.
Passo 2
Vamos começar lembrando que em um triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Dado que
e a hipotenusa é 12 cm, podemos encontrar o cateto adjacente a
, que é
:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, para encontrar o outro cateto
, usamos o teorema de Pitágoras, que afirma que em um triângulo retângulo:
Sabemos que
cm e
cm. Substituindo:
Passo 4
Com os catetos encontrados, podemos desenhar o triângulo
retângulo em
, onde:
-
cm (cateto adjacente a ) -
cm (cateto oposto a ) -
cm (hipotenusa)
Passo 5
Agora, vamos calcular o seno e o cosseno dos ângulos
e
.
Para o ângulo
:
Para o ângulo
:
Resposta
Os catetos do triângulo medem
cm e
cm. As medidas dos ângulos são
,
,
e
.