Um triângulo A B C, retângulo em A, tem a hipotenusa medindo 12 cm e sabe-se que cos (B)=34. Determine a medida dos catetos deste triângulo e represente-o graficamente, indicando suas respectivas medidas. Determine também o valor do seno e do cosseno dos ângulos B e C.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Temos um triângulo retângulo em , ou seja, o ângulo é de 90 graus. A hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto, mede 12 cm. Sabemos também que . Nosso objetivo é encontrar as medidas dos catetos e , desenhar o triângulo com essas medidas e calcular os valores do seno e do cosseno dos ângulos e . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de trigonometria relacionados aos triângulos retângulos, como definição de seno e cosseno e o teorema de Pitágoras.

Passo 2

Vamos começar lembrando que em um triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Dado que cos(B) = AB12 = 34 e a hipotenusa é 12 cm, podemos encontrar o cateto adjacente a AB = 12 times 34 = 9 cm , que é :
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, para encontrar o outro cateto AB^2 + AC^2 = BC^2 , usamos o teorema de Pitágoras, que afirma que em um triângulo retângulo:
9^2 + AC^2 = 12^2 81 + AC^2 = 144 AC^2 = 144 - 81 AC^2 = 63 AC = raiz63 approx 7,94 cm
Sabemos que cm e cm. Substituindo:

Passo 4

Com os catetos encontrados, podemos desenhar o triângulo retângulo em , onde:
  • cm (cateto adjacente a )
  • cm (cateto oposto a )
  • cm (hipotenusa)

Passo 5

Agora, vamos calcular o seno e o cosseno dos ângulos sin(B) = ACBC = 7,9412 approx 0,66 e cos(B) = ABBC = 912 = 34 .
Para o ângulo sin(C) = ABBC = 912 = 34 :
cos(C) = ACBC = 7,9412 approx 0,66
Para o ângulo :

Resposta

Os catetos do triângulo medem cm e cm. As medidas dos ângulos são , , e .

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