(AFA) A distância focal da elipse x^2+16 y^2=4 é:
a) 1
b) 3
c) raiz15
d) raiz20

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a distância focal da elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre elipses, especificamente a fórmula para a distância dos focos.

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse é , onde e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados da equação original por 4 para colocar na forma padrão:
x^24 + 16 y^24 = 44
Simplificando, temos:
x^24 + y^20.25 = 1

Passo 4

Agora, identificamos e . Então, e .

Passo 5

Em uma elipse, a distância focal c = raiza^2 - b^2 é dada pela fórmula:
Isso porque os focos estão localizados a uma distância do centro da elipse, ao longo do eixo maior.

Passo 6

Vamos calcular c = raiz2^2 - 0.5^2 = raiz4 - 0.25 = raiz3.75 usando os valores de raiz3.75 = raiz154 = raiz152 e :
Simplificando , temos:

Resposta

A distância focal da elipse é . Portanto, a alternativa correta é a c) .

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