Se uma parábola tem como equação
, determine as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz da parábola.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma parábola:
. Nosso objetivo é encontrar três coisas:
- As coordenadas do vértice da parábola.
- As coordenadas do foco.
- A equação da reta diretriz.
Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado na equação da parábola e usar as fórmulas que relacionam os elementos da parábola (vértice, foco e diretriz).
Passo 2
Vamos começar rearranjando a equação da parábola para isolar os termos em
. A equação dada é:
Vamos mover os termos que envolvem
e constantes para o outro lado:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo em
. Para completar o quadrado de
, seguimos estes passos:
- Pegamos o coeficiente de
, que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . - Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
- Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar o termo
:
Subtraímos 8 de ambos os lados:
Dividimos ambos os lados por 12:
Passo 5
Agora que temos a equação no formato padrão da parábola que abre para cima ou para baixo:
onde
é o vértice e
, onde
é a distância do vértice ao foco.
Comparando com nossa equação:
Identificamos que:
Passo 6
Vamos encontrar o vértice
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o valor de
. Sabemos que
, então:
Isso significa que a distância do vértice ao foco é 3 unidades.
Passo 8
Como a parábola abre para cima (o coeficiente de
é positivo), o foco estará 3 unidades acima do vértice. Portanto, as coordenadas do foco são:
Passo 9
A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo de simetria da parábola, localizada a uma distância
do vértice, mas na direção oposta ao foco. Como
e o foco está acima, a diretriz estará 3 unidades abaixo do vértice. Então, a equação da diretriz é:
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Equação da diretriz: