Se uma parábola tem como equação x^2-4 x-12 y-8=0, determine as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz da parábola.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma parábola: . Nosso objetivo é encontrar três coisas:
  1. As coordenadas do vértice da parábola.
  2. As coordenadas do foco.
  3. A equação da reta diretriz.
Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado na equação da parábola e usar as fórmulas que relacionam os elementos da parábola (vértice, foco e diretriz).

Passo 2

Vamos começar rearranjando a equação da parábola para isolar os termos em x^2 - 4x - 12y - 8 = 0 . A equação dada é:
x^2 - 4x = 12y + 8
Vamos mover os termos que envolvem e constantes para o outro lado:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo em x^2 - 4x + 4 - 4 = 12y + 8 . Para completar o quadrado de (x - 2)^2 - 4 = 12y + 8 , seguimos estes passos:
  1. Pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
  2. Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
  1. Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar o termo (x - 2)^2 - 4 = 12y + 8 :
(x - 2)^2 - 12 = 12y
Subtraímos 8 de ambos os lados:
y = (x - 2)^212 - 1
Dividimos ambos os lados por 12:

Passo 5

Agora que temos a equação no formato padrão da parábola que abre para cima ou para baixo:
y = a(x - h)^2 + k
onde y = 112(x - 2)^2 - 1 é o vértice e , onde é a distância do vértice ao foco.
Comparando com nossa equação:
Identificamos que:

Passo 6

Vamos encontrar o vértice Vértice: (2, -1) :
é

Passo 7

Agora, vamos encontrar o valor de 112 = 14p implies 4p = 12 implies p = 3 . Sabemos que , então:
Isso significa que a distância do vértice ao foco é 3 unidades.

Passo 8

Como a parábola abre para cima (o coeficiente de Foco: (2, -1 + 3) = (2, 2) é positivo), o foco estará 3 unidades acima do vértice. Portanto, as coordenadas do foco são:

Passo 9

A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo de simetria da parábola, localizada a uma distância y = -1 - 3 = -4 do vértice, mas na direção oposta ao foco. Como e o foco está acima, a diretriz estará 3 unidades abaixo do vértice. Então, a equação da diretriz é:

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Equação da diretriz:

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