Determine o vértice, o parâmetro, o foco e a equação da diretriz da parábola cuja equação é:
(x-1)^2=16(y+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de uma parábola e precisa encontrar o vértice, o parâmetro, o foco e a equação da diretriz. Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da equação que a gente tem: . Essa é uma equação geral de uma parábola que abre para cima ou para baixo. A forma padrão dessa equação é , onde é o vértice da parábola e é o parâmetro que nos ajuda a encontrar o foco e a diretriz.

Passo 3

Comparando a nossa equação com a forma padrão , percebemos que:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o parâmetro p = 164 = 4 . Como , basta dividirmos ambos os lados por 4:
Então, .

Passo 5

Com o vértice Foco = (h, k + p) = (1, -1 + 4) = (1, 3) e , podemos encontrar o foco da parábola. O foco está a uma distância acima do vértice (já que a parábola abre para cima). Assim:

Passo 6

Agora, a diretriz é uma linha horizontal que está a uma distância y = k - p = -1 - 4 = -5 abaixo do vértice. Então, a equação da diretriz é:

Resposta

  • Vértice:
  • Parâmetro :
  • Foco:
  • Equação da diretriz:

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