Resolva o sistema abaixo utilizando o método Gauss-Jordan, indicando os postos das matrizes ampliada e dos coeficientes e se o sistema for possível, o grau de liberdade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. O sistema dado tem quatro equações e quatro incógnitas (). O método de Gauss-Jordan ajuda a simplificar o sistema para encontrar os valores das incógnitas de maneira organizada. Para isso, vamos precisar montar e manipular a matriz ampliada do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. A matriz ampliada é composta pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos independentes das equações. Então, temos:
Agora, vamos começar a transformar essa matriz para a forma escalonada reduzida usando operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra). Nosso objetivo é obter zeros abaixo e acima dos pivôs (elementos principais) para isolar as variáveis.
Passo 4
Primeiro, vamos subtrair a primeira linha das outras para eliminar o 1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & -2 & | & 4 0 & 0 & -2 & 0 & | & -4 0 & -2 & 0 & 0 & | & -2 das equações seguintes. Isso simplifica o sistema:
Linha 2: Linha 2 - Linha 1
Linha 3: Linha 3 - Linha 1
Linha 4: Linha 4 - Linha 1
Após essas operações, a matriz fica assim:
Passo 5
Vamos simplificar as linhas 2, 3 e 4 dividindo-as por seus respectivos coeficientes para facilitar os cálculos:
Com a matriz organizada, podemos agora escrever as equações correspondentes:
x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x2 = 1 x3 = 2 x4 = -2
Passo 8
Vamos substituir os valores conhecidos das variáveis x1 + 1 + 2 + (-2) = 0 x1 + 1 = 0 x1 = -1 e na primeira equação para encontrar :
Resposta
A solução do sistema é , , , e . A matriz ampliada tem posto 4, assim como a matriz dos coeficientes, indicando que o sistema é possível e determinado, ou seja, não possui graus de liberdade.